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➤ X
X
基本例
158 和と積の公式
(1)積→和,和→積の公式を用いて、次の値を求めよ。
(ア) sin 75°cos 15°
(イ) sin 75°+sin 15°
(2)△ABCにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
(ウ) cos 20° cos 40° cos80
A
sin A+ sin B+ sin C=4cos
COS
COS
cos
C
2
p.255 基本事項 1,2167
B
2
2
解答
指針
(2) △ABCの問題には, A+B+C=π (内角の和は180°) の条件がかくれている
A+B+C=xから、最初にCを消去して考える。
そして、 左辺の sin A+ sin B に 和積の公式を適用。
(1)(ア) sin 75° cos15°=1/12 {sin(75°+15°)+sin(75°-15°)}
3
2+√3
1/(1+1/2-2/
4
=
(sin 90°+sin60°)=2/12(1+
(イ) sin 75°+sin15°=2sin
75°+15°
2
COS
75°-15°
2
=2sin45°cos 30°=2.
23
2
6
2
2
(ウ) cos 20° cos 40°cos 80°=
1
{cos 60°+cos(-20°)}cos 80°
2
=
-/1/11/
1
1
+cos 20° cos 80°
cos 80°+
・cos 20° cos 80°
2
22
=
-1/cos80+1/2 1/2(cos 100°+cos (160)-1/2Cos80°+1/cos100+1/2
=
4
22
4
4
4
・cos
=1/cos80°+1/cos(180°-80°)+1/13-1/2COS80°-1/2COS80°+21/18-1
==
(2) A+B+C=πから C=πー(A+B)
ゆえに
よって
4
8
sinC=sin(A+B), cos =cos(A+B)=sin A+B
8
2
A+B A-B
A+B
2個の
sinA+sinB+sinC=2sin
COS
+sin2.
2
A+B A-B
2
公
A+B\
=2sin
COS
+cos
2
2
2
和双
2
=4
2
・COS COS
2
=2 cos 2 cos cos(-)
A B
-4coscoscos
A
2
K
の公
C
2
練習 (1) 積和, 和→積の公式を用いて, 次の値を求めよ。
③ 158
(ア) cos 45°sin 75°
(イ) cos 105°-cos 15
(ウ) sin 20° sin 40° sin 80°
(2)△ABCにおいて,次の等式が成り立つことを証明せよ。
cos A+cos B-cosC=4cos-
A B C
scossin-1
*cos sin
2
2
2
p.270 EX 100
