Question

https_o0

数学的帰納法についてです。
写真の赤丸のところについて、k+1はどこから出てきたのでしょうか？

264 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。
(n+1)(n+2)(n+3) (2n)=2・1・3・5(2n-1)
→
0

264 与えられた等式を1とする。
[1] n=1のとき
[2]
(左辺)=1+1=2, (右辺 =2112
よって,①は成り立つ。
=kのとき①が成り立つ,すなわち
(k+1)(k+2)(k+3)････
⚫(2k)
=
2k･1･3･5･･･････(2k-1)
2
②
と仮定する。
n=k+1のとき, ①の左辺について考える
と、②から(k+(k-2)) もとは(k+(k-1))
(k+2)(k+3)(k+4)
=(k+2)(k+3)(k+4)･
(k+1k+2)(k +3) ・
•{2(k+1)}
もとは水
・2k×2(2k+1)
2k(2k+1)2(k+1)
=2*·1·3.5 . ...... (2k — 1) × 2(2k+1)=
=2k+1.1.3.5........(2k-1). (2(k+1) - 1}
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
り立つ。

Answer 1

𓆡

n=k+1の時
(k+2)(k+3)(k+4)⋯(2k-1)(2k)(2k+1)(2(k+1))
=(k+1)(k+2)(k+3)⋯(2k-1)(2k)(2k+1)(2)
=2^{k}･1･3･5･⋯･(2k-1)(2k+1)(2)
=2^{k}･1･3･5･⋯･(2k-1))(2k+1)(2)
=2^{k+1}･1･3･5･⋯･(2k-1)(2k+1)

よってn=k+1の時も正しい。

最後の2(k+1)から(k+1)だけ一番前に持ってきています。そのため、k+1がどこから来たのかと言われれば、2(k+1)の(k+1)というのが答えです。