Question

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わかりやすく説明お願いしたいです🙇

155 余りの決定 CHECK 153
多項式P(x) をx2+1で割ると余りが3x+1, x+2で割ると余りが15であ
る。P(x) を (x2+1)(x+2) で割った余りはアx2+イ x+ウであ
る。

Answer 1

Yoshimarukun

P(x)=(x^2+1)(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
P(-2)=15より
4a-2b+c=15 ∴c=ー4a+2b+15

したがって、
P(x)=(x^2+1)(x+2)Q(x)+ax^2+bx-4a+2b+15
P(x)をx^2+1で割った余りと、ax^2+bx-4a+2b+15をx^2+1で割った余りは等しいので

ax^2+bx-4a+2b+15=a(x^2+1)+bx-5a+2b+15より
3x+1=bx-5a+2b+15
したがって、b=3,-5a+2b+15=1∴a=4
よって、c=-16+6+15=5
求める余りは、4x^2+3x+5◻︎

別解)
P(x)=(x^2+1)Q(x)+3x+1
=(x^2+1){(x+2)Q'(x)+a}+3x+1
=(x^2+1)(x+2)Q'(x)+a(x^2+1)+3x+1

P(-2)=5a-5=15 ∴a=4

以上より求める余りは、4x^2+3x+5◻︎

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別解のやり方詳しく教えてほしいです！！