基本 例題 46
有理数と無理数の関係
200000
a,b は有理数とする。a+b√2=0 のとき,√2 が無理数であることを
用いて, a=b= 0 であることを証明せよ。
(2)(1+√2)x+(-2+3√2) y=10 を満たす有理数x,yの値を求めよ。
CHART & THINKING
基本44
(1) 直接証明するのは難しいから、背理法を利用しよう。結論の否定は 「a≠0 または
b≠0」であるが,この仮定からスタートする必要はない。a+b√2 = 0 という式に注目し、
最初の仮定を見極めよう。
(2) √2について整理して、 (1) の結果を利用する。 このとき、 前提条件
「x,yは有理数, √2 は無理数」 を書くことを忘れないよう注意。
解答
どり
(1) b=0 と仮定すると
√2=-
a
b
a,bは有理数であるから,右辺の // は有理数である。
左辺の√2 は無理数であるから,これは矛盾している。
a+b√2=0 に 6=0 を代入して a=0
よって b=0
a+b√2=0 から
b√2=-a
両辺を b(0) で割ると
√2=-5
このことから,最初の仮
定は≠0 だけでよい。
したがって
a=b=0 1.84
(2) 与式を変形して
(x-2y-10)+(x+3y)√2=02について整理。
x, yは有理数であるから, x-2y-10, x+3y は有理数でこの断りは重要。
あり√2 は無理数である。
ゆえに、 (1) の結果から
これを解いて
1
x-2y-10=0, x+3y= 0
x=6,y=-2
詳しくは右ページ参照。
