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重要例題 20 | 漸化式と極限 (4)
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漸化式 α = 2,2an+1an=an2+2 (n=1, 2, 3, ......) で定められる数列 (onl
える。 次の(1)~(3) を示せ。
(1) すべての自然数nについて a√2 である。
(2) an+1≦an (n=1, 2, 3, ...)
(3) liman=√2
n→∞
指針 (1) 「すべての自然数nについて……」 の証明であるから,数学的帰納法による。
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(3) 漸化式から一般項を求めるのが容易でないから, liman=√2 を直接示すのは難しい
81U
(1) (2)の不等式を利用して, liman-√2 | = 0 を示す。 なお, 漸化式 α7+1=flo
ら,一般項を求めずに, 極限値を求める一般的な手順は,次のようになる。
① 極限値を lima = α とし (このとき liman+1=α), liman+1= limf(an) から
n→∞
求める。 このαが極限値の予想となる。
81U
81U
② |an+1-α|<kan-α| を満たすん (0<<1) を見つける。
2
804U
③ ② から, 0<lan-a|<k|an-1-a|<klan-2-α|<...... <ka-alとなり
3
limk"-1=0 であるから, はさみうちの原理により
n→∞
したがって, 極限値は liman = α となる。
lim|an-a|=0
81U
JAA
①のαが実際の極限値となる。
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