ノートテキスト
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テストで点をとるためだけのノート (理屈は授業でよく聞いてね) 【相似な図形と相似条件】 1 図形の拡大・縮小と相似 (1) 平面上で、1点0を定めて図形を拡大したり縮小したりしたとき、 対応する線分の比は、点から対応する2点までの距離の比に 等しい。 (2)(1)のとき、対応する角の大きさはそれぞれ等しい。 (3) ある図形を拡大したり縮小したりした図形と合同な図形は、 もと の図形と相似であるという。 2 相似な図形の性質 (1) 対応する線分の比はすべて等しい。 相似比という (2)対応する角の大きさはそれぞれ等しい。
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3 相似の位置 相似な図形の対応する2点を通る直線がすべて1点0で交わり、 0から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき、 それらの図形 は相似の位置にあるといい、このときの0を相似の中心という。 相似の中心の見つけ方 ・・・対応する頂点を直線で結び、 それらの直線の交点 が相似の中心となる。 4 相似条件 (1) 3組の辺の比がすべて等しい。 A' A (2) 2組の辺の比が等しく、 その間の角が等しい。 (3)2組の角がそれぞれ等しい。 入試に出る証明の 99%がこれ C B B' 'C' a A' C A B C B' 'C' a a'- A' △△ B C B'
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相似の証明① 下の図で, AM =4cm, BC=12cm, DM=9cm である。 点 M が線分 BCの中点であるとき,三角形ABM と三角形 CDM が相似であることを証明しなさい。 A C B M D
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【証明】 解答例&プチ解説 @ △ABM と △ CDM において Mは BC の中点だから BM = CM = 6cm よって AM: CM=4cm:6cm = 2:3 ・① 同様に BM: DM = 6cm:9cm=2:3 対頂角は等しいから LAMB = ∠CMD ③ ① ② ③ より 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから △ABM △CDM C B A 4 cm 16cm 相似比は2:3 16cm M 9 cm D
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相似の証明② 下の図の三角形ABCで,点 B, C から辺 AC, AB にそれぞ 垂線を引き, 交点をD, E とする。 このとき,三角形 ABD と三 角形 ACE が相似であることを証明しなさい。 B E A D C
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解答例 & プチ解説 【証明】 △ABD と ACE において 仮定より ∠ADB= ∠AEC = 90° ① 共通な角より ∠BAD = ∠CAE ② ①,②より, 2組の角がそれぞれ等しいから △ABD △ACE A A 00 90 DE DE B B 別々にお絵かきすると 見やすいよ♪ 00 90 A C C
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相似の証明 ③ 図のように, AB=9cm, BC =6cmである三角形ABCの 辺 AB 上に, AD = 5cm である点 D をとる。 このとき,後の(1),(2)の問いに答えなさい。 A 9 cm 15cm D B 6cm- (1) 三角形 ABC と三角形 CBD が相似であることを証明しなさい。 (2)∠BAC = ∠ACD であるとき, AC の長さを求めなさい。
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解答例 & プチ解説 (1) △ABCと△CBD において AB: CB = 9cm:6cm=3:2 BC: BD = 6cm:4cm=3:2 共通な角より ∠ABC= LCBD ① 3 ① ② ③より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから AABC có ACBD 15 (2) 2 A A 9cm/5cm C 9 cm D 6 cm 14cml C B C B D B 6cm 6cm 4 cm 相似な図形の対応する辺の比は等しいから AC:CD=3:2 CD = 5cm より AC: 5cm = 3:2 よって AC = 15/2
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相似の証明④ □ 図のように, AC=20cm, BC = 15cmの直角三角形ABCが あり、頂点 Cから辺ABに垂線を引き, 交点をDとしたところ, AD = 16cm となった。 C (1) 三角形ABCと三角形 ACD 20cm 15cm が相似であることを証明しなさい。 (2)辺 CD, BD の長さをそれぞ れ求めなさい。 A16cm D B
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解答例 & プチ解説 (1) △ABCと△ACD において 仮定より ∠ACB= ∠ADC = 90° 共通な角より ∠CAB= ∠DAC ①,②より, 2組の角がそれぞれ等しいから AABC có AACD (2)CD = 12cm BD = 9cm 90 20cm 20cm 15cm 15cm 16cm 90 A 16cmD B B 20cm △ABCと△ACD の相似比は AC: AD = 20cm:16cm=5:4 相似な図形の対応する辺の比は等しいから BC:CD = 5:4 BC = 15cm より 15cmCD = 5:4 よって CD=12cm 90 12cm △ACD~ △CBD で、 相似比は 20cm:15cm=4:3 A 20cm 相似な図形の対応する辺の比は 等しいからCD:BD=4:3 90 CD=12cm より 12cm:BD=4:3 C 15cm よって BD = 9cm B
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相似の証明 ⑤ 下の図で,三角形ABC と三角形ADE は正三角形である。 辺 AC と辺 DE との交点をF とするとき、 三角形 ABD と三角形 AEFは相似であることを証明しなさい。 B D A F *C E
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解答例 & プチ解説 △ABDと△AEF において 仮定より LABD = LAEF = 60° ① LDAF を とすると ∠BAD = 60°-a ...② LEAF = 60°-a ...③ ② ③ より LBAD = LEAF ① ④より, 2組の角がそれぞれ等しいから △ABD △AEF B 60 ④ A 60-a 60-a a 見やすくするため に置きかえている だけ 60 E F ・C D GOOD LUCK♪
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