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数学Ⅱ・数学B 〔2〕 連立方程式 log2(x+2) - 21og4 (y + 3) = -1 ((/)-11 (/) +1 + +6=0 を満たす実数x, y を求めよう。 真数の条件により,x,yのとり得る値の範囲は 夕 3) である。 タ に当てはまるものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 ただし, 対数 10gab に対し, αを底といい, b を真数という。 ◎ x > 0,y > 0 ① x > 2,y > 3 ② x > -2,y>-3 ③ x < 0,y < 0 ④ x < 2,y < 3 ⑤ x <-2,y <-3 底の変換公式により log4(y + 3) = log2(y+3) チ である。 よって、②から y = ツ x+ テ が得られる。 (数学Ⅱ・数学B第1問は次ページに続く。)
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数学Ⅱ・数学B X 次に,t = (-1)* とおき, ④ を用いて ③ を t の方程式に書き直すと +2 トナt + ニヌ = 0 が得られる。また,x が タ におけるxの範囲を動くとき, tのとり得る 値の範囲は ネ <tく ノ ⑥ ⑥の範囲で方程式 ⑤ を解くと, t= ハ となる。 したがって, 連立 方程式 ② ③を満たす実数x, yの値は である。 ヒ x = log3 " y = logs フ であることがわかる。 ヘ ホ
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自学 ~指数・対数関数〜 〔2〕 log2(x+2)-21oga (y+3)=-1 …... ② ・②で、真数は正だから よって ・②で、2で変換すると x+2 > 0, y +3 > 0 x>-2,y> -3 loga(y+3)= log2(y+3)_log2(y+3) log2 22 2 •②を底2で統一して整理すると log2(x+2)-2 × log2(y+3) =10g22-1 2 x+2 x+2 = 2 ...log2 = log2 2-1 y+3 = 1 -1 y+3 2 よって、②から y = 2x +1 (4) が得られる。
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1=(3)
y
1
('-')
3
次に、t=
-11
x
3
x+1
+6=0
③
とおき、④: y=2x+1を用いて③をの方程式に書き直す。
2x+1
x+1
1
1
y=2x+1を③に代入すると
-11
+6=0
3
3
整理して
1=(3)
X
2
を代入すると
すなわち
が得られる。
1
当{}
3 3
2
13-1/31+6=0
t2-1lt + 18 = 0
X
1 1
-11x
+6=0
33
また、xがx>-2の範囲を動くとき、 底0 <
<1に注意すると
3
x
-2
1
0 <<
3
よって、tの値の範囲は
0 <t < 9
・⑥
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⑥:0 <t<9の範囲で方程式 ⑤: t2-11t +18= 0 を解くと (t-2)(t-9)=0 t=2 元に戻すと X = = 2 X 両辺に底3の対数をとると 10g3 = log3 2 3 整理して log 3 3x = log 3 2 x=-log3 2 1 よって x = log 3 2 1 また、これを④: y=2x+1に代入すると y = 2×10g 3 +1 2 1 = log3 + log3 3 3 4 = 10g3 ×3) 4 3 y=log3 4
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