ページ3:

数列{a} : α = 0, n+1
n+1
=
n
n+³ {3a„ + 3″ª¹ −(n+1)(n+ 2)}.…………..♥
(1)
a2
=α1+1
=
1+ 3 {3α,
1+1
4
=
2
=
: 6
an
n+1
{3a, +3¹+1 − (1+1)(1+2)}
{3×0 +3² - 2×3}
(2) bn
=
3" (n+1)(n+2)
-とおいて一般項を求める。
.
数列{6}の初項は 6,
=
.
1
a
=
'n+1 n+1
3an
n+3
a₁
3' (1+1)(1+2)
n+3
=
0
18
=
0
+ .3"+1 - (n+3)(n+2)
n+1
の両辺を3"+1 (n+2)(n+3) で割ると
b....
n+1
an
3" (n+1)(n+2) (n+1)(n+2)
=bn
+
(n+1)(n+2)
・b を移項して部分分数分解すると
n
bn
=
n+1
1
1
1
3n+1
n+1
1
3
n+2
-(1)
3
n+1
階差数列型の
漸化式

ページ4:

(2)つづき
n ≧ 2 とするとき
n-1
1
1
ドミノ型
(x + 4 + 2) (² ) + ( 1) (111)
1
k +1
k=1
k+2
=
+
n+1
2
1
1
1
n-
=
=
2
n+1
2n+1
1
n-1
1
n-1
k+1
n
9
3
1
1
=
3
1
6
k=1
2
3
3
初項 1/9 公比 1/3
項数 n-1 の等比数列の和
よって、 階差数列の公式により
bn =61+
b₁ = b₁
=0+
n-l
1
1
k=1
k +1 k+2
+1)
2
n ・2
-
3(n+1)
k+1
{}
+1(1)
6 2 3
+12 (1)
3
n
これはn=1のときにも成り立つ。

ページ5:

(3)(2)より b =
n-2 1 1
3(n+1)
+
n
=
2 3
①の両辺に3" (n+1)(n+2) をかけると
an=3" = (n2-4)+
3の倍数
an
3"(n+1)(n+2)
(n+1)(n + 2)
2
余りはここだけ
見ればよさげ
1
an
α は整数となる。
(4)
a3k
d3k+1
(3k+1)(3k + 2)
=
2
(3k+2)(3k+3)
2
(3k+3)(3k+4)
9k2 + 9k + 2
=
3.
= = 3..
•
a3k+2
=
2
2
(3k + 2)(k + 1)
= 3.
3k(k+1)
2
+1
余り1
+0
2
余り0
+0
2
余り0
(k + 1)(3k + 4)
n
また、数列{a}の初項から第 2020 項までの和を3で割った余りは
0,0,1,0, 0, 1,･･･,0,0,1
1が3の倍数個”含まれるので、 1~2020 に含まれる3の倍数の
個数の 673 個だけの1の和を求め、 それをさらに3で割ればよさげ。
673÷3=224 あまり 1