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高3Ⅲ型 3 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点) 自学 (9) OA = 6, OB = 4, AB = 5である三角形 OAB があり,辺 AB を直径とする円をCとする. (1) 内積 OA・OB の値を求めよ. (2)Cと直線 OA の交点のうちAとは異なる点を P とし, Cと 直線 OB の交点のうちBとは異なる点を Q とする. (i) OPをOAを用いて表せ. (ii) 直線 AQ と直線 BP の交点を H とする. OHをOA, OB を用いて表せ. (3)H は(2)で定めた点とする. 点 R が C上を三角形 OHR が できるように動くとき,三角形 OHR の面積の最大値を求めよ.
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高3数学Ⅲ型 2025年8月第2回全統記述@自学 3 ベクトル (1)余弦定理 COS ZAOB (2) (i) 共線条件 OP = KOA 6²+42-52 9 2x6x4 16 OA OB = |OA|×| OB |× cos ZAOB 9 = 6x4x 16 2|2| |= 27 P H A B OP. (OB-OP) = 0 ·· kOA · (OB – kOA) = 0 • kOA OB-k² | OA | ² = 0 . k× 2 27 2 -k²×6² = 0 2 ..k(8k -3)=0 = 3 (k0) ベクトルの垂直条件 OP • PB = 0 →> . k よって OP = OP = 3-OA 8 8
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(2) (ii) 共線条件 OQ=1OB ベクトルの垂直条件 0QQA =1OB(OA-10B) =ZOA・OB-12|OB A H OP=201 3-8 -OA Q =1x 27 27 2 - 12 × 42 =221-161 0QQA =0 より 翌1-161 27 -1-1612 = 0 :. l = 32 27 よって0Q= OB 32 2直線の交点 27 OH = sOA + (1 − s)OQ = sOA + (1-s)OB ・① 32 3 OH = tOP + (1-t)OB = tOA+ (1 - t)OB OAとOBは1次独立だから, ①と②の係数を見くらべて 3 s=-t, 27 3 8 (1-s)=1-t より S=- t = , 32 35 35 3 ②に代入してOH = 27 -OA+. OB 35 35 B
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(3)点 R... 直線 OHと垂直で 円の中心(Cとする)を通る直線と円との交点がRで 直線 OH と直線 RC の交点をIとします。 準備 OC == 1 2 1 -OA+ -OB 2 共線条件 OI = mOH = 35 27 35 ③ ベクトルの垂直条件 CI・OH 3 mOA+ -mOB == = 0 .. (OI-OC). OH = 0 3 27 - m OA+ ・m 35 2 35 .. - 1 JOB)·(23-0A + 2/17 OB) = 0 35 35 (6m-35)OA+(54m-35)OB (OA+90B)=0 (6m-35)|OA|2+(108m-350)OA・OB +(486m-315)|OB|2=0 27 ∴ (6m-35)×62 + (108m-350) × +(486m-315)×42=0 2 .. 216m-1260+1458m - 4725+7776m - 5040 = 0 7 ∴. 9450m=11025 m=- 予想通り 6 I は線分AB 9 上の点 ③に代入して = OA+ OB 10 10
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つづき 内分点の 9 10A + 90B 位置ベクトルの公式 ·OA+ OB 10 10 9 +1 点Iは線分AB を 9:1 に内分する点!! P H B ⑨ I① R △OHR = OH × AI ÷ 2 ○底辺 |OI| 27 = 62 +18 × - - 101 - + 81× 42 2 3√7 2 69√7 より OH = OIx = 7 7 99 ◇ 高さ AI: IB = 9:1 より AI = 5× 10 2 9√79 81√7 したがって, △OHR = × ÷ 2 = 合ってるの?? 7 2 28
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