ページ3:

愚直にやってみよう.fh-fif-ffなので、Leibniz則より、
D(") =D(f) ・f^^' + f・D(f)
となるのであった。そこで、n=1,2,のときに具体的に求めると、
n=1のとき、 D(f2) D(f)
=
n=2のとき、D) = D(f)f +fD(f) = 2D(f)f
n=3のとき,D(f3)=D(f)f+fD(f3)=D(f)f +2D(f)f-3D(f)f2
である。ここで、予想として、
D(fr) =nD(f) fa-i
が正の整数nについて常に成り立つと考えられる.
Exercise 1
数学的帰納法を用いて
D(f^) =nD(f)f-1
がすべての正の整数nで成立することを調べよ
いま、関数xが
D(x) =1
をみたすとき、微分の公式で見た

ページ4:

D(xr) = nx²
n-1
を得る。また、関数ffnに対して、
n
D(fi¨ fn) = D(fi) f₁ - få ¨ fn
Dfi-fn-
2=1
も同様にチェックできる
==
2番目がない!
z
(ュー、チールーチューチューチューキューブ
(言い損ねたが)全ての定数aと関数figに対して、
D(af) = aD(f), D(f+g) = D(f) + D(g)
が成立するとしよう(本稿では、これを含めて導分としよう)。このとき、
D(11) = D(1) 1 + 1D(1) = 2D(1)
=
より、D(1)=0なので、全ての定数関数aに対して、
D(a) -0
が成立する
●導分を調べよう.
さて、今のところ導分は微分と変わらないように見えるが、実際は導分Dと関数ひが
存在すれば、ひDも導分となり、導分DI,D2に対して
[D2,D2](f)=(D1・D2-D2D2)(f)=D2(D2(f))-D(D2(f))
と括弧積[・・・]を定めると、[D,D2]も導分となる。実際、

ページ5:

=
[D1, D2] (fg) - Di(D₂ (fgl) - D₂ (D₁ (fg))
である。
= D₁ (D₂lfig + f D₂(g)) - D₂ (D₁ (f)g + f Di(g))
= D₁D₂ (f) g + D₂(f) Di(g) + D₁(f) D₂(g) + f DiD₂ (g)
- (D₂D₁(f) g + D₁ (f) D₂ (g) + D₂ (f)D, (g) + f D₂ D, (g))
= (D₁ • D₂ - D₂ • D₁) (f) g - f (D₁ • D₂ - D₂ • D₁) (g)
= [D₁₁ D₂] (f) g - f [D₁₁ D₂] (g)

ページ6:

●余談
C-線型を仮定しているので、厳密には微分と呼ぶべきだろう、単位的C-代数Xに対し
DX{X上の微分全体}
とすると、以上の議論はDxがC-Lie環となることと、いくつかの計算についてである。
さて、X,YをC-代数としたとき
4X→Y (C-代数の射)
は2x,Dyの射として何を引き起こすだろう? DxEDx, DreDyをとると、
X
Y
→Y
.D.Y.
だったので、微分を保つ準同型は、
¨Dx
X
→X
Y
→Y
·DY.
が可換、即ち、Dyo4=4Dxが満たされることで、とくに、「DXEdyに対して、上の図式が
可換になれば良さそうである。しかし、全てのDxで
Dy°4=4°Dx
となるものは数が限られそうである.そこで、Dxを少し加工する.Xをn次元の複素

ページ7:

多様体、Oxとして、X上の正則関数のなすC-代数の層とする。これによって、Xを環付き
空間と思う、すると、Oxは具体的にモノがあるから、各点xeXごとに、xでの茎(xが決ま
り、そこに微分
DxOxOx2
Dx: Ox xx
を考えることができる。従って、xEXごとにOx上の微分全体のなす集合Dxが定まり、
XEX
Dx = Ll Dxx/x
40x/ 制限による
同値関係
と定めることでX上の層が作れる.ただし,Dxは当初のDXではなく、表記を合わせれば、
Dexという集合を作った。さて、次元がその複素多様体X,Yとその間の射XYが
あると、xEXの近くでは、
Ex Veer) = 6 (Vera).
を可換とするように、
→Vf(x)
R
fihol.
C
:
(Cx) OY, Fix
CxOxxx
fr
→ for
という構造層の間の射4xOOxが作れる.さて、4:X→Yを複素多様体

ページ8:

の射として、中を経由して、2x、間の射を定めたい。いま、D2EDxxに対しては、
Dr
Oxix.
→Qxx
C*
Orefi
→Orif(2)
Dfw.
が可換となるようになってほしい。すなわち、
Dxox=(*゜Df(x) (VxEX)
を満たすと、ウレシイ
以上より(?)、微分作用素のなす層に対して、微分代数(OxDz)を考えることを
整合をもって出来そうなのだが、どっちが楽だろう?恐らく、Dは微分を一
律に保つので、特別に素性が良さそうだが一方で、XがLie群なら、平行移動に強い
(税抜)
.............
ので、こっちなら良さそうだが...