ページ3:

4/18
注1)どんな集合Aも自分自身Aを部分集合にもつ
→ACA
○証明(ドンモルガンの法則)
AVB
A B
注2)どんな集合も空集合中も部分集合にもつ
→$CA
P56問8
AAB
AUB
要素がん個の集合の部分集合の個数は2個になる
[{3}]{4}}{3.47.14.5}{5.33.454
注
そもそも集合について考えるとき、予め、1つの大きな集合
の部分集合を基本考える
全体集合し
○補集合:全体集合の部分集合Aに対して、Vの要素だが、
Aの要素でないものをAの補集合という。⇒と表す
Aの補集合 A と表す 例)01年人組にいる人たち
A: 175cm以上の人たち
エーバー
・モルガンの法則
A: 00.00-00}
→2つの集合に関する法則
(3つでも成り立つ)
AUB=ANBANB=AVB大事!

ページ4:

4/21命題と条件
○命題とは正しいか正しくないかが定まるもの
例)「1+1=2である」→真「安田は175cm以上である偽
「2×3=5である」→「安田はかっこいい 命題×
条件とは…命題の真偽を決めるもの
例)「x>0」、「モニー」」のときは偽により真偽が
「C=1」のときは真
決まる。
※条件はp.αで表すことが多い
・命題と条件
・2つの条件について、命題「ならばもである」を
P=9と表す(P:仮定、9:結論)
例) [P=「x=1」、9=「x>0」とする
「PC」・「x=1ならば入>」 直
例2)P=「x1」、9=「x>0」とする
「P=q」「x>1ならばx>0」真
0 1
☆証明のかき方をしっかりやる⇒レポートがテストに出る
・集合との関係について
P= {x/x>1} Q = {x\x>0}
Pは②の部分集合 PKQ
Point
「命題P αが真」⇒「pcQ」
※qPも真のとき⇒「P=Q」
例「x=1ならばx=1である」偽
→x=-1もあるから、
反例
反例:Pであるが℃でないもの
「P」
→命題が偽であることを示すために必要
(1つだけでOK!)
(2)
P=偽
-8 -51
問3
-2
(1)P:-2<>c q;x<5 偽x=6,
(2)P:-8<x<-59:x<1 真
PCQ
(3)Pinは12の倍数 9:nは3の倍数 真
(4) Pinは72の約数 9:hは84の倍数 偽n=24
123468
7236 24 18 129
1・2・3・4
89-42-28-21
"

ページ5:

P61 問4
(1)直
P=q 真
偽
例
430水
(2)偽反例=0 (3)偽反例=2
x²-2x (2-2)=0
→22:0
○必要条件と十分条件
20.2
○必要十分条件
・条件P.9に対して
・条件P.9において「P 9」が真ならば、qはPであ
るための必要条件、Pは?であるための十分条件
「PC」のとき、Pは9であるための必要十分条件で
ある。Pとは同値である。
P62 問5
(1) P >< 3.9 -1<x<2
「pa」偽
+qP」は真
例1.「エクアドルのバナナはおいしいバナナである」
Q
P
の書き方でかく
「十分条件ではないが必要条件である。
(0)
「PC」は真「9⇒P」は偽(反例・フィリピンのバナナ)
「PCであるための十分条件だが、必要条件でない。
9はPであるための必要条件だが、十分条件でない。
重要
覚え方
P => a
+ 4
①分必要
例2.P:x=19=-1
「P⇒9」は偽(反例x=1)+q=P」は真
「Pは9十分条件ではないが、必要条件である。
例3.P:x=1.9:x=±1
「P 9」は真、「9 P」も真
「Pは虫であるための必要十分条件である。
(2))=6はx=36であるための十分条件であるが
p q P偽必要条件でない。
(3)mnが同符号であることはそれが正であるための
Pα真9 真 必要十分条件である
(4)Pa
必要条件でも十分条件で
PC真9 P偽十分条件
5/2 長方形
(3)必要十分条件 (4)必要十分×
++
P:内角が全て等しい
9:辺が全て等しい
ない
P39 偽反例:長方形)
9 偽(反例:ひし形)

ページ6:

52金
否定:条件Pに対して「PでないことをPの否定と
いう。→巨と表す。(集合に対応)
例、P:x=2、P:x=2
9:x2.9:22
符号、不等号に注意!!
21論証
・命題の逆・裏・対偶
命題「P=q」に対して
の逆
「P」を「PC」
・「⇒」を「ア」の裏
・「⇒」を「p=a」の
・対偶
52 金
・ド・モルガンの法則 (復習)
PNQ=PUQ、PUQ=pnQ
U
問7
(1)x<1またはy>4である
(2)x>5かつy=8
(3)xtyは有理数またはxyは無理数
>または
火またはy
※実数においては有理数ではない」⇔「無理数」
Point
①もとの命題「ア」が真でもその逆「ep」裏
の真偽は定まらない
②もとの命題「ア」に対して、その命題の対偶「⇒」
の真偽は一致する
⇒証明法の1つとして有用!
(対遇法)
例題
「れは整数とする。我が2の倍数であることを示せい
(証明)←スタートの合図
与えられた命題の対偶は
「れが2の倍数でないならば、ηも2の倍数でない」
(絶対かく)

ページ7:

れは2の倍数ではない、整数を用いて、
n=2h+1
と表せる
=(2R+1)2
=4+4+1
=2(2k+2k)+1
2k+2kは整数のためは2の倍数でない対偶は真より
もとの命題も真
○背理法:証明法の1つ
その命題が成り立たないと仮定
59 金
→矛盾があれば、その命題は成り立つはず
例1.教 P.66 例題2
(類題・Hiprime121)
例2.「2が無理数であることを示せ」
(証明)
「整数
√2 =
m
が2の倍数ならばれは2の倍数」→対偶を使って
が有理数である仮定する(無理数でない)
mnは以外に公約数をもたな
n自然数
数さもたない)
他にも…んは既約分数とんは互いに素
√2n=m
両辺を2乗して、m=①前回の授業で証明
'は2の倍数ならば、れは2の倍数」のため、は2の倍
数となる。そのためmは
m=2k(たは自然数)と表せる
①より
=(2t)=2m²
41=2m²
N=21
以上よりも2の倍数となるが、これはm、nが1以外に
は無理数である(証明終了)
公約数をもたないことに

ページ8:

数A集合の要素の個数
513 火
○集合Aの要素の個数 9(A)と表す
和集合の要素の個数
証明
N (AUB) = N(A) + N (B)-N (ANB)
WA)
n(B)
+
A
A
B
n(AB)=0
→
n(AUB)=n(A)+m(B)
集合A:6の倍数、集合B:8の倍数
教(1) 全体集合U10以下の自然数
問2
集合ACB:24(6と8の最小公倍数)の倍数
A={61,62,6.36.163
B={87,8・2,83
8,123
ANB 241242, 24.3, 24.43
→n(A)=16m(B)=12,m(AB)=4
(AUB)=(A)(B)(AB)
=16+12-4
=24
(2) A={6167,636.16} n(AUB)
B
に
ANB
117-1,172,17.3.175}:2(A)+h(B)
=16+5=21
(3) A={6.16.2.6-36.163 η(AUB)
B
¥31,32,3.33.33}=n(B)=33
ANB ={6.1.6.2,6-3-6.16}
●補集合の要素の数
n(A)=(U)-n(A)
「2全体集合U100以下の自然数
集合A
8の倍数
A=f8.1,8.2,83-8.123
n(V)=10.0,η(A)=12
|n (A) = N(V)-N(A)=100-12=88
193 n(u) = 100, n(A) = 33. N(A) = N(U) - N(A) =67.
F1 例題 3
r: 35人の生徒、A、電車通学
B: 自転車通学
n(A)=27,n(B)=25n(A(B)=20
(1)求める集合は、ANB
ド・モルガンの法則より、ANB=AUB
M (AUB)
B
N-AUB
分かればよい

ページ9:

5/16 (金)
P.11 例題 3
516金
場合の数
516 金
V:生徒全体A、電車通学B、チャリ通
n(V)=35,n(A)=27.η(B)=25,M(A(B)=20
(2) 求めるのは(ĀNB)
n(AB)=n(B)-2(ANB)
=25-20-5
P.11 問4
樹形図:ある事柄の取こりうるすべての場合の数
を求める際に使う
0-2
例、0.1.2を1つずつ使った3桁の数は全部で?
102.120.201.210
2-0
0-1
1-0
(1)6でも8でも割り切れない数
○和の法則
2つの事柄A・Bが同時に起こらないとき
Aは通り、Bは通りとして、AまたはBが起こる
場合の数は(mth)通り
例、異なる2つのサイコロの目の数が5の倍数となる目の
出方は?
目の数の和が5の倍数:5または10
(i)5の場合(1.4)(2,3)(32)(4.1)→4通り
(ii) 10の場合(4.6)(5.5)(6.4)→3通り
和の法則より4+3=77通り

ページ10:

516金
5/27(火)
○積の法則
・2つの事柄A・Bについて、Aが通り、Bが通り
のとき、AかつBが起こる場合の数は(mx)通り
例、マクドのセットは何種類?
○順列: いくつかのものを順番を考えて並べたもの
例1 A・B・C・Dの4人から3人を選んで並べる総数
4×3×2=24通り。
中
より一般的に
n個のものからの個取り出して
・バンバーガー(4種類)
4×2×3=24通り
・サイドメニュー(2種類)
4通り
3通り 2通り
・ドリンク (3種類)
並べる順列は?
r個
nx(n-1)x(n-2)xx(n-rtr)
例題、72の約数の個数は?
通り(n-1) (-2)
{1-(2-1)359
○順列の公式
通り 通り
(n-r+1通り
1. 2. 3. 4. 6.8.9.12.18.24.36.72
Point 素因数分解
72=2×32 2=3=1
→約数は24.3(x=0.1.2.3,y=0.1.2)
4×3=12個
個から個とる順列
nPr=n(n-1)(n-2)(n-r+1)
例) 5P2=5×4=20 P3=7×6×5=210
nPa=h(n-1)x…×3×2×1 最後(のこりに)までやる
=n!

ページ11:

6/
○円順列・いくつかのものを円形に並べたもの。
○数珠順列(Hiprime 例 7.41)
例 A・B・C・Dを円形に並べる
個の数珠順列の
総数 (-1)通り
4つは全て同じもの
考え方・1つを固定して残りの配列を考える(4-1)!通り
(4つのもの同じ1つとみなす妛=3!通り)
円順列の公式
異なる個のものの円順列の総数は
(n-1)!通り
例の大人2人、子供3人を円形に並べる
大人2人が隣り合うのは?
大人2人を1人とみなす。このとき、円形に並べるのは
(4-1)!通り
大人2
大人2人の並べ方は2通り
以上より31×2=12通り
いっしょとみなす
○重複順列…2個のものから2個重複を許して並べるもの。
例)1.2.3.4の4つの数字を使ってできる3桁の数は?
T
踊り
4通り
4通り
通り
通り
個
通通り
より一般的に、個のものから個重複を許して並べる
重複順列の総数は通り
P.27 メモ 空き部屋あり→簡単
例7
2通り 通り 2通り
3人はそれぞれA・Bの2通りの部屋の並び方がある。よって
23=8通り
問23 メモ 部屋3つ以上空き部屋なし、部屋の区別なし
(1) 2=32通り
(2)32-2=30通り
(空き部屋なし)
=(全体の分け方)-(空き部屋あり)
ありなし

ページ12:

6/10
○組合せ…あるものから何個を選ぶ
0151]
順番は関係ない
a.bc.dから3つ選ぶ
{ab.c} {obd} {acd}· {b.c⋅d}
abc.dから3つを選ぶ順列
4P3=4×3!
問25(1)C2
(2)6C3=
(3)10(4
(4) scs
171)806
=
10'
46!
土
542
>
10
6.5.4
172.2=20
10.487
123.x = 210
4P3
・8・7・6・5・4・3
組み合わせ
組合せの公式
1・2・3・4・5・6
・テクニック・
8.7
=8C8-6
21
=8C2
=28
n'
個から個とる組合せはaCrで表し、nCr=
212-2)
確認
n!
nCnr=
(n-r)! {n-(n-1)}!
ハーフ
確認
n(n-1)-(2-771)
r
(2-1)-3·2·1
2 (2-1)-(n-r+D) (n-1) (n-r+1).3.2.1
問27(1)7Cs=7C75=7C2
(2)8C7=8C8-7=8C1=8
7.6
=
= 7.2
21
Cr = n Cn-r
n!
a!(a-r)1
"C3
例)4C3=
(2-1) 3·2·1x (n-2) (2-2+1)·3·2·1
※nCo=1
n'
7(2-2)
4x37271
1×243×1
(3)12Ca=12C12-9=12C3
11.10
=
220
1.2.3
P25+K
例13
円周上に8個の点円周上の点を頂点
G
=4
3!4!
7×6×5×41
31791
7.6.5
3.2
D
F
F
35
にもつ三角形は?
解答
三角形は3つの頂点をもつので
8C3=876=56個
1.2.3

ページ13:

例題8
P.25 高校生6人、中学生4人
(1)高校生3人、中学生2人
考え方 高校生と中学生別々で選ぶ
解答高校生の選び方は3通り
中学生の選び方は4通り
以上より6C3xyCo=66:54
×
3.2
4.3
1.2
= 120
P26
(比較P.22例題7)
(1)考え方 A.B.Cに順に人を入れる
解答 Aへの人の入れ方は。C2通り
Bへの人の入れ方は4C2通り
(Cへの人の入れ方は2通り)
C2x4C2=x=90通り
(2) 少なくとも1人中学生
考え方 「少なくとも」 補集合で考える
⇒
(2)部屋の区別なし
解答
解答
求める場合の数は10人から5人を選ぶ総数から
高校生のみを選ぶ総数を除けばよい 補集合
考え方 ob
cd
ef
1)の場合の数から部屋の区別を
A
B
C
なくせばよく、3!通りずつのものを
3!
$29.87.6
16C5-C5
5432
-6=246
通
A
C
B
り
C
B
A
90
3!
同一視すればよいので、
祝 200=15通り
P.2330 (1), C₂x 5C2
問30
(2),C4-5C4
6.51
Y
=15×10=150
11.198
-5
325
34
同じものを含む順列
例1,2,2,3,3,3を使ってできる6桁の数の総数は?
考え方の
・考え方②
区別する
ロロローを入れていく
1.2.3と順に数字
1·2a 2b. 30. 36.3c
6桁
並べ方は6通り
2a~bは21通りずつ、30~cは
の入れ方はC通り
2の入れ方はよくて通り
6C, X5 C2-1523!
3!通りずつ同じものを同一視 一般化して
すればよい。
2!3!
=
6!
2.3
aがP個、又が4個、Cが2個
合計れ個を全て並べる総数は
6.5.4.3.24
n!
=60通り
Pair! (P+athtarin)

ページ14:

6/17 P.28例 10
Point最短経路
(上か右にしか進まない)
⇒13個と→
・4個の順列の数
(1) AからBまでは上に3回右に4回進むのが最短経路で
ある。そのため、求める総数は13個と→4個を並べる
順列に等しい。
171-7.6.5 =35
よって、=
(2)考え方:A→Cまでの経路とC→Bまでの経路を分けて
④ 重複組み合わせ
P335 例.xyzから同じ文字を操り返して、8文字
取り出す。
1
15. x.x. y. yy.z. zz xx.xxx.xx.x
y.y.y. Z. Z.ZZZ
Point:○と】を使って表す
y
xx. 7. y. y. 8.2.2 9 0 0 0 1 0 0 0
x x x x x x x x -00000000
→210091099999
y.y. y. 2.2.2.2.2→
→〇8個と12つを並べる順列に等しい
考える。
101
=45
解答 AからCまでは上2回、右2回進むので
8!2!
通り
P-33
CからBまでは上1回、右2回進むので、
例!x+y+z=8
x ≤0. y ≤0, ZZO
?!
通り
4!
以上より 140×2=3・2・3=18
P28
問33(1) 9!
9.8.76
=
5141
4.3.2.1
126通り
ex)(xyz)=(1.2.5).(0.80)(0.4.4)
(xyz)=(1.2.5)(0-80)(0.4.4)
0000000000000000000
解答
(2) 4
5
/
3.2
5.4.
8個の○と2個1を用いて、並べたとき、一番目の
60通り
2/21
3!2!
1
2.1
(3) 126-60=56通り
(4)_4
2121X
40
3.2x=24通り
1131

ページ15:

6/20
バスカルの
三角形
(a+b)²=a+zab+b2
(a+b)3=Q3+30b+30b+65
121
1331
15 10/05/
161520161
14 +1985 33 21 7/
(a+b)=a+4gb+60b+40b'+b85
}(a+b) = (0²+2ab+b²)"
0+4036+
(a+b)=0+50b+100b'+108b'+sab+65
(a+b)(a+b)
.
(a+b)=a'+600b+150b2+210+150b+60bbo
(a+b)" = a't la bt 210 b² + 350° b² + 350b" +21a²b² + bob² + b?
(+6)8=Q8+80b+280°+5606+70gb1568b+28b80円
(a+b)について
h:2
h=3
h=4
パスカルの三角形
れが大きいと大変?
1
(a+b)について
(a+b)s = (a+b)(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
②
ひの係数は①①でbt選ばない:sCo
anの係数は①~②でbを1個選ぶC,
QBの係数は①~⑤でbを2個選ぶSC2

ページ16:

(a+b)³ = 5 Coasts C₁ ab + 5 C = a³b² + + C=O'b²+; Cuab
+5 C5 b5
ast Sab+10ab +100'b²+
○二項定理
(a+b)" = n Coα" + nc, a b+ulzah bin Crannf't
+Cn. ab + Cub
Cramerbを一般頂という
aCrを二項係数という
(8) (2017)
F
b
= 5 Co (2x)³+ 5C (2x) xy + C₁ (2x) - Y² + (₂ (2x)³y *
+3 (4 (22) y (5 45
= 3215480x² +80x'y² +40xy? +/oxy" tys.
7.10 179
(1)(3076)
= 4 Co (ja) ++ C₁ (30) b + C (sa) b² + ( 30.b² +₁Cub
= 810" +1080'b +540°b²+120b²+b²
(2)(2x-33)
= 4 Co (2x)x - &C. (2x)³·(30) + (C, (ix)³·(y)² + 4 (s (2x)-(i)
= 16x² - 96x'y +216x³g² + 176xy³ +81y"
ア
+4(0 (39)*

ページ17:

6/27 (金)
○多項定理(復習)
n!
-a²b² C²
(atb+c)の一般項はP!!r! (pte+rこえ)
例(X-2g+32)のどの係数は?
Point:一般項を求めて、係数を出す!
(二項定理のときといっしょ!)
解答
(x-2y+32)={x+(-24)+32}の一般項は
ぱどより P=1.9=2.2=2
5!
ニ
P!9!?!
P1917! 'x' (-28) (32) = 1951+1 (2).3. xl..2+
"5"
-(-2)².
P!9!r!
係数は5!
1!2!2!
問12
×(-2)×32=5.3.2.4.9=1080
(x-y+z)”のでどの係数は?
={x+(2)+2"の一般項は
7!
piar!
5!
P!9!r!
よりP=2.9=3.8=2
係数は
7!
2!3!2!
=× (-1)²=.
x4
7×6×5×4×4
2x17211
-840

ページ18:

○二項定理を使った証明
例、2η=nCotnci+nCz+…+hCnを証明せよ
☆n乗とく(組合せ)が出たら二項定理を疑え!
解答
(a+b)=nCoataCambtnCzombi+mtncabh
a=b=1とすると
(1+1=2h=nCothC,+nCz++Ch

ページ19:

9/15 確率 ②
KP-36-37 数学A
P. 38~41
復習
P(A)=
全事象に対して事象Aが起こる確率P(A)
Aの場合の数
確率の基本性質
どんな事象Aに対して
の場合の数
・Vの事象が同様に確
らしい
P37 例25人が1列に並ぶとき、特定の2人が隣りあう
確率は? UAPS) 同じ程度 5!
B・A・D・C・E
①の場合の数は5!通り
②特定の2人が隣り合う場合の数
200AB〇〇→その他は
全事象の確率(
③空集合の確率
~
・事象ABにおいて~
遺章:AかBが起こる事象ANSと書く
和室:AまたはBが起こる事象、Aと書く
例)サイコロをふる A
1・3・5の目が出るB12.4の目が出る
AB:1の目が出る AUB 1・2・3・4・5の目が出る
2x1で2通り
✓
通り
問5 6人が例に並ぶとき、特定の2人が両端にくる確率は?
O O O O O Q
全部通り
・特定の2人
通り×通り
事象ABが同意に起こらないこと
AとBが
例) A:奇数の目、13:偶数の目
◎確率の理
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ANB)
A.Bが互いにのとき

ページ20:

9/5
問9
P.41 例題3
OP.41
赤球4個と白球6個が入っている袋から、同時に2個の
球を取り出すとき、それらが同じ色である確率を求めよ。
・全事象は10C2通り⇒1つ1つを区別して考える
・A・Bは互いに排
P(A)=
・P(AUB)=P(A)+P(B)
7
15
=
P(B) =
全部→qC3通り
・A・Bは互いに横造点
424056789
P(A
P(B) =
9C3
問題1から9までの数を1つずつ書いた9枚のカードの中から
同時に3枚引くとき、3枚のカードの数がすべて偶数
であるか、またはすべて奇数である確率を求めよ。
9/9 確率 ③
○復習
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB);
特に排反のとき(P(AB)=0)
P(AUB)=P(A)+P(B)
P41 問9
全事象し、9枚から3枚引くの通り
(2.4.6.8)
A:3枚とも偶数4C2通り
B:3枚とも奇数。 5C3通り
AとBは排反のため
P(ANB)=PA)+P(B)=1/+172
P.42例題4
全事象V:100枚から1枚ひく、10、通り
A:20の倍数をひく、50C、通り
A={2.1,2.2,2.503
Bの3の倍数を引く33C、通り
B={31,32,333}
ANB6の倍数を引く、16C通り
AB={6.1.6.26.63
教 P41.42
43.2+5.43
9.8.7
=
1/2=1/

ページ21:

教 P.43
9/11 確率 ④
復習
☆余事象:Aが起こらない事象Aで表す
⇒確率 P(A)=P(U) P(A)
= 1-P(A)
例5
・キーワード 「少なくとも」
全事象U:20本のくじから3本引く⇒20C3通り
A: 少なくとも1本当たり
A:1本も当たらない、3本ともはずれ⇒15C3通り
15.14.13
P(A) = /- 15 (² = 1 - 20·19:18
91
228
-37
P43 問11
3個のさいころを同時に投げるとき、少なく
とも1個は6の目が出る確率を求めよ
全: 6×6×6=216通り
A:C5X6C5×6C5=5×5×5=125通り
P(A)=1-125=216-128=96
よくある間違い 例2個のさいころを投げるとき
(2)区別なしで考えてしまう
(1.1) (12) (1.3)(14)(15)(1.6)
(2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6)
(3.3)(34)(3.5)(3.6)
(4.4) (4.5) (4.6)
同様に確からしくない
(55) (56) (66)
余事象AAが起こらない事象
教 P43:45
P(A)=1-P(A)→P(A)=1-P(A)
P43 問11 (問題は確率③の方にかいてあります)
・全事象は通り
A:少なくともには6の目が出る
余事象?
A:全てのさいころで1~5の目が出る: 5通り
P(A)=1-P(A)=1-8=316
これまでの確率:
・これからの確率・複数
の試行
の試行
☆独立・2つの試行の結果が互いに影響しないこと
例)「コインを投げる」と「サイコロを振る」
Aさんが袋から玉を出して戻す」
○独立じゃない例「Aさんが袋から玉を出して戻さない」
「Bさんが袋から玉をとり出す」

ページ22:

◎独立な試行の確率
・試行TTが独立
・TIでAが起こってたでBが起こる確率
例
P(A) XP (8)
Aの確率
T1: コインを投げるたサイコロを振る
A:「表が出る」 B:「1の目が出る」
TでAが起こってたでBが起こる確率は、
例題1
1/2×1/2=12
P(A) (3)
袋A:赤×3.白×7←2個出す←
袋B:赤×2、白×32個出す独立
考える事象:4個全て同じ色
→「全て赤」+「全て白」の和事
↑排
(i) 全て赤
C
2C2
102
5 Cz
(ii)全て白
C
×
ToC
3(2
よって求める確率は、
jC2
10C>
SC₂
P47問3 赤球6個と白球4個が入っている袋から、球を
(1)全て赤
1個取り出し、色を調べてからもとに戻すことを
2回行うとき
求める確率は
・全て白
36716
13
100
25
互いに排反だから
(2)同時におこらない
(2)「2個異なる色」
→「1回目赤、2回目白」+「1回目白、2回赤
・排反
⇒(x)×2=1
[別解 「12個異なる色」の余事象は
「2個とも同じ色」
(1)より 1
→問題
(1)取り出した2個の球が同じ色である
(2)取り出した2個の球が異なる色である
3.2.21+7832-22
==
10.954
150

ページ23:

確率⑤
復習」
P.46~P48
♡
◎独立:2つの試行の結果が互いに影響しない
◎独立な試行の確率
(2) TiT2独立な試行
TでAが起こってたでBが起こる確率は
CP(A) XP(B)}
33つの試行の独立な確率
TTTの独立な試行、TiでA.TでBTでC
が起こる確率は
((A) × P(B)XP03
※4つ以上でも同じ
P:480例2 次のページに問題があります。このとき1個だけ自で
ある確率は?
A:赤×1・白×3 B:赤×3・白×2 C:赤×4.白×3
「白球が1個」
[1]
・「Aから白1個」+「Bから白1個」+「Cから白1個
(i)Aから白1個
(ii)Bから白1個
((()
独立
排反
(ii) Cから白1個
(女)(4)(
○求める確率は...
367849
140
53
140
例題2 3つの袋A.B.Cがあり、Aには赤球1個と
白球3個、Bには赤球3個と白球2個、Cに
は赤球4個と白球3個がそれぞれ入っている。
3つの袋から球を1個ずつ取り出して、それら3個の球の色を調べる。
問4 例題2において、次の確率を求めよ.
(1)1個だけが赤球である。
(2)少なくとも1個が白球である。
●(1)「赤玉が1個」
103
○○「Aから赤1個」+「Bから赤1個」+「Cから赤個
全部排反
(i) Aから赤1個
(ii) Bから赤1個
(ii) Cから赤1個
(4)x()()
○求める確率は..
6729724
140
140
(2)「少なくとも1個白玉」の余事象は
いつ「すべて赤玉」
・すべて赤玉の確率
12.
140
求める確率は、
128
140

ページ24:

4/26 確率⑥
教 P.49~
(金)
反復試行:互いに独立な試行を繰り返すこと
○例) コインを5回投げる、サイコロを3回ふる
解説
1回引いて当たる確率:1/
求める確率は
例題 4回サイコロを振ったときちょうど2回
1の目が出る確率は?
2
)=(そ)()=1
144
625
考え方
4C2通り
50%例題4
2/5'
(1)
()
○求める確率はC2(1)(5)=12310128=20180
反復試行の確率
Aが起こる確率P,Aが起こる確率:q=1-P
2回中r回Aが起こる確率は、
※ただし、P=ど=1
P50問6
当たりくじ4本を含む10本のくじがあり、このくじから1本を引き、
結果を見てもとにもどす。これを5回繰り返すとき、ちょうど3回
当たりくじを引く確率を求めよ。
P.50
1枚の硬貨を5回投げるとき、表がちょうど4回以上
出る確率を求めよ。
○考え方 「表が4回以上出る」
○求める確率は
i) 5回中4回表
564 (½)(2)
ii) 5回中5回表
Le「表が4回」「表が5回」
(i)(ii)より
5C5(1/1)(2)=(1/2)
問7
15Cy(2/2)(2/2)+(1/2)
=(1/2)(5+1)
トランプのジョーカーを除く52枚のカードをよくきって、1枚
引いてマークを調べてからもとに戻す。これを4回繰り
返すとき、ハートのカードを3回以上ひく確率を求めよ。
* 3 (4)² (7)
+cy()() 4
・
3
64 4
=
64
7576
64
64

ページ25:

P51~
解説
1回引いたときハートのカードが出る確率 1/2=1/
「ハートのカードが3回以上出る」
⇒「ハートが3回」+「ハートが4回」
P.51 例題 4
wxx
上
ト
6
2
点Pは、数直線上の原点Oから
(i)4回中3回ハート
1(i)(ii)より
4C3(安(2)
43(女)(2)+(火)
セット P{1.2.3.4} 1.{5.6} 2
(ii)4回中4回ハート
4.3+1
13
4x
256
(安
解答 さいころを6回振ってPが原点にいるのは、
5以上の目が回出るとする
2xrt(-1)(o-r)=0.r=2
4以下の目が出る回数
求める確率は、
5以上の目が2回、4以下の目が4回出る確率
6 C₂ (±²²)² ( f )²
36.5
&
5.29
35
=880
243
(1)(3)

ページ26:

P51 問9
例題4において、点Pの座標がちょうど
3になる確率を求めよ
♡ 解答
♡解説
Pの位置が3
○1試合でAが勝つ確率
Bが勝つ確率
・3勝先取で優勝
(1)4回目にAが優勝
Flaxt
さいころを振って5以上の目が回出るとする
2x+(-1)x(6-r)=3 2=3
中の移動したきょり
5以上の目が3回、4以下の目が3回出る確率は
[C] ((=(+) (+)=6200
P.52 例題5
A・Bの2人が1枚ずつコインを投げ、2人とも表ならAの
X&Aが3勝1敗
« C₁ (+) (+) = *
Point:先勝問題では勝つ手前を考える
☆4回目にAが優勝
⇒3回目でAが2勝1敗
3C2 (4) 2² (4) × 4 = 256
(1)4回目にAが優勝
(2)Aが優勝
3回目まで
(2)Aが優勝
4回目
Le(i)3回目(ii) 4回目、(iii)5回目の和事象
(i)3回目にAが優勝
(安)×4
2回目でAが2勝
C2(女)(
(ii) 4回目にAが優勝
(1)より、3C2(安安)
(ii) 5回目にAが優勝
⇒4回目でAが2勝2敗
(
i)~(ii)より
3
43
++
46-32
+4+3+4+6.32
45
106
53
45
512

ページ27:

10/17(火) 確率⑦
教 P.53.54
条件付き確率 ヒントが与えられるイメージ
例、サイコロの目を当てる (5の目が出た)
例2.
15
映画
d
映画
①原作 確率 3
・ヒントなし
原作〇 10
5
15
②原作、映画
=1
奇数の目が出た 1/3
原作× 20
10
30
③原作の中で映画。
「奇数」という条件で確率が変化
30
15
45
条件付き確率(verl)
事象Aが起こったときに事象Bが起こる確率
AとBがともに起こる場合の数
n(ANB)
PA(B):
= Aが起こる場合の数
K(A)
A:奇数の目が出る,n(A)=3
PA(B) =
B:5の目が出る,η(ACB)=1
条件付き確率(rer2)
n(AnB)
PA(B)=
N(A)
(ACB)/(V)
例題 6
ある町では、毎年、住民による公園の清掃が行われて
いる。今年の参加者は、全体の40%が高校生で、全体の25
%が初めて参加した高校生である。参加者の中から任意に
1名を選び出したところ、高校生であった。この参加者が初
めて参加する確率を求めよ。
○とき方
A:高校生, B:初参加
高校生であったときの初参加の確率→PA(B)
m(A)/n(v)
P(ACB)
P(A)
P(A)=
40
P(ANB)=.
25
100
100
PA(B)=P(ANB) 25/100
5
=
P(A)
40/100
8

ページ28:

問12
ある図書館の8月の利用者は、全体の35%が高校生で、
全体14%が高校1年生である。利用者の中から任意に1名を
選び出したところ、高校生であった。この参加者が初めての参加
である確率を求めよ。
●こたえ
A:高校生、B:1年生
10/8(水)確率⑧
復習
条件付き確率
事象Aが起こったときに事象が起こる確率
(AB) P(AB)
PA(B)=
こ
n(A) P(A)
WP(AB)=P(A)×P(B)
例題7
3本の当たりくじを含む10本のくじがある。このくじをa.bの
2人がこの順に1本ずつ引くとき、それぞれが当たる確率を
求めよ。ただし、aが引いたくじはもとに戻さないものとする。
求める確率PA(B)
P(A)=100
35
P(ANB)=
-14
>
100
P(A)
PA(B) = P(AND) - 14 =
例題7
白球4個、黒球2個が入っている袋から、1個ずつ続けて
2個の球を取り出すとき、2個とも白球である確率を求めて
(エ)αが当たる
P(A)=1/
みよう。ただし、取り出した球はもとに戻さないものとする。
A:1個目が白,B:2個目が白
→P(AB)は?
○考え方
10本中3本当たりabが順に引く、aはもとに戻さない
A:aが当たり、B:Bが当たり
(Ⅱ)bが当たる
(i) aが当たってbが当たる
(ii) aが外れてbが当たる
(i) P(A/B)=P(A)×PA(B)
(ii)p(A(B)=P(A)×PA(B)
3
= 4×1
10

ページ29:

(i)(ii) より
P(B)=P(AB)+P(ACB)
29.3
10.9
重要!!
例8
教 P.55.56
「
「~ときに」
これきたら条件つき
確率!!
ある病原菌を検出する検査法が病原体が
いるときに、陰性と誤って判断してしまう確立は
1%、病原体がいないときに、陽性と誤って判断
してしまう確率は2%である。全体の1%にこの病
原菌がいるとされる検体の中から個の検体を
取り出して検査するとき、次の確率を求めよ。
(1)陽性と判定
(i) 病原菌をもっていて陽性
'(ii) 病原菌をもってなくて陽性
(i) P(A∩B)=P(A)×PA(B) P(A)(B)より出せる
余事象!!
=
TooX-99
100
P(ACB)=P(A)×PA(B)
2
99
×
100
100
P(B)=P(ANB)+P(ACB)
99.
=
1/100×100 +
99
700
2
700
99×3
10000
297
10000
(i)(ii) より
(1)
陽性と判断された確率
(2)
陽性と判定されたときに、実際には病原菌がいない確率
○
・考え方
A: 病原菌がいる
B:陽性と判定
(2) 求める確率はPB()
PB(A)=P(BA)
90x3
=
P(B)
99×2/10000
293/10000
99×2
99×3
=
$35
「病原菌がいるときに陰性と判定される確率」
'
Pa(B)
PA(B)=700
P(B)=1/0
P(A)
100