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6 【Ⅲ型 選択問題】 (配点 40点) iを虚数単位とし, α = 2 + 2i とする.また, 複素数 zを n (n=1, 2, 3, …) In = a により定め,0 を原点とする複素数平面上で z が表す点をPと n する. (1)zを極形式で表せ. また, α, α° の偏角を求めよ。 ただ n し,偏角は0以上 2π未満とする. (2)POを中心とする半径8の円の内部にあるようなnの値 n のうち最小のものを求めよ. (3) αが表す点をAとする.Pが0を中心とする半径 8の円 n の外部にあり,かつ, 線分 OA を直径とする円の内部にある ようなnの値をすべて求めよ.
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2025 年度 第1回全統記述高3模試@自学 Akagi 6 複素数平面 a =2+2i Zn = a (1) αを極形式で表す。 n 147) =2√2 cos+++isin πT 笑 4 4 兀 a = 22 +22 cos. α6の偏角を求める。 6 arga 兀 = ·×6= 4 3 - 4 == 兀 α9 の偏角を求める。 9 2 +isin· 9 πT = 4 arga" =- x 9=- 4 |4 答 兀
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(2) Zn = n a πT =(2√2) (cos/+1sin+式変形 COS 4 極形式に =2√2)(2) cos (√2)=(0 π π +isin • i" < i titi HE IK 4 9 n 9 + =2 2 2 4 兀 -2" (cos + sin )·(cos + sin 27-n =2 2 27-n =22 COS 兀 4 πT 4 COS n 2 COS- +isin × COS-. -π+isin. 4 πT n 2 πT n cos| + }π +isin + 兀 4 2 4 2 n πT 2 モアブルさん n POを中心とする半径8の円の内部にある。 n |積→和 →> |z„|<8 が成り立てばよさげ。 OP, の長さが円の半径より小さい 27-n 2 3 27-n 2 <2 <3 (∵2>1) 2 .. n > 21 nは自然数だから, 求める最小の値は n=22
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3 (3) α°= 2 ► a² = (2√2)* (cos + isin) = 512(cos + isin 227) 3 2 3 2 3 兀 =-512i(点A) P, が ①:0 を中心とする半径8の円の外部にある。 n n < 21 ...... ① ②: 線分 OA を直径とする円の内部にある 27-n →> ||<512 22 <29 <2⁹ .. 9<n ② ①かつ②より n=10, 11. .., 20 n このうち, π< argz <2πを満たすものは偏角が実軸より下 兀 10 5 ・argZ10 = + π =- πギリギリだめ 4 2 4 arg Z11 =- 7 π, arg Z 14 5 7 = π, argZ15 =- 兀 4 4 4 5 7 argz18 = - -π, arg Z 19 4 =- ・π 4 -256 したがって n=11, 14, 15, 18, 19 -256i Z10 内部にない A-512
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