そもそも三角比は直角三角形における比なので、どのcosθについても単位円で考えられることを理解してください。
これからはお手元に座標平面を用意して、実際に書いて理解してください。
動径θと単位円の交点を点Kとし、点Kからx軸に垂直に直線を引く(垂線の足をhとします)と、直角三角形ができます。また、そのときOK=1が成り立つ(単位円ですから)ので、
OK×cosθ=Oh
→cosθ=Oh
が成り立ちます。
つまり、cosθの値の取りうる範囲は単位円内のx座標の範囲と全く同じわけです。
単位円のx座標の範囲は-1≦x≦1ですから、cosθの値の範囲も-1≦cosθ≦1となります。
解説は以上となります。
因みに、0≦θ<2πという範囲は、「cosθが考えうる全ての値をとる」という意味(なぜなら角度(正確には動径)は2πで一周しますからね)であって、0≦θ≦3πとかでも-1≦cosθ≦1であることは変わりません。違いは、弧度法においては0=2πですから、πが答えなら3πも答えになる等、少し答え方に注意が必要な程度です。
数学においては少々面倒かもしれませんが、解説を何度も反芻して本質を見つけることが結果的に暗記量や演習量を減らすことに繋がります。
飲み込めるまで頑張ってください。
