Question

パワー

線形代数の問題です
dim(u+v)+dim(u∩v)=dim（u）+dim（v）
を次元定理を用いて証明する方法を教えて欲しいです

Answer 1

哲治

線形代数の長岡本から。

パワー

このやり方がメジャーなのは知ってるのですが… 逆にこれしか調べても載ってなくて… これと別に次元定理 （rankA+dimA＝n）を用いた証明の仕方をどのようにすればいいか教えてい欲しいです

哲治

そもそも次元定理は線形写像を考える時のお話ですよ。
これは単なるベクトル空間と部分空間のお話なんで使いませんよ。

哲治

それともテキストの問題になんか写像が定義されてますか？

パワー

実はこの問題大問の最後の問題で
V,W⊂R^nに対して
1番では
直積集合 V×W＝{(v,w)|v∈V,w∈W}がRーベクトル空間となることを示せ
2番では
写像 f:V×W→R^n ((v,w)→v+w) が成り立つことを示せ
そして3番が質問した問題でした
自分の無知でお伝え損ねてしまい申し訳ないです 回答して頂けると幸いです よろしくお願いします

哲治

長岡本の証明は理解できたと解します。
長岡本の証明でV=R^n、W1=Im(U),W2=Im(V),W1+W2=Im(U+V)
これを式①
同様にこれをkerで考えて式②として、両辺足し合わせたら与式になります。

パワー

分かりました！
丁寧に教えていただきありがとうございました！！

（Herzlichen Dank！ General Guderian！）