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withoutのあとは必ず名詞になります。したがって、sayだと動詞の原形のままになってしまうのでsaying(動名詞)が回答になります。
✳without 〜ing ｢〜なしで、〜しないで｣
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暗記というよりは、withoutのその用法の場合、品詞は前置詞で、ofやinとかと同じですね
ということはうしろにくるのは｢名詞｣です
動詞のままでは使えないので｢動名詞｣にします