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お答えします。
①that day は副詞ですか? ⇒ はい、この場合は「副詞の働き」をしています。
本来は on that day(その日に=副詞句)だったのが、最近、特にアメリカでは on を省略して使います。
②thatがつくと副詞とかってあるんでしょうか? ⇒ ありません。
that自体は代名詞(それ、あれ)、形容詞(その、あの)と副詞(それほど)です。
例文の that day は that(形容詞)+day(名詞) です。
参考にしてください。
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