Question

かりん

問題と答えです。
意味が全く分かりません、解説お願いします😭

6自然数 n に対し, 正の平方根、mを考える。ここで, Vnが無理数のとき, m×Jaが有理数になるよう
な最小の自然数aを考え,それを〈n>で表すことにする。また, Vnが有理数であるときは,(»> = 1と
定める。このとき, 次の式を満たす自然数nのうち, 100以下のものをすべて求めなさい。〈慶塵義塾高改》
口(1)(x)=5
口(2)(8n)=5
(60)
口(3)(18x)+
-=8
(8n)

6 (1) n=5×mn (m=1, 2, 3, …)と表される数
だから, n=5, 5×2°=20, 5×3°=45, 5×4°
=80
(2) 8n×5=2"×2×5×nだから,
n=10×m(m=1, 2, 3, …)と表される。
よって, n=10,10×2°=40, 10×3°=90
(3)<18n>=<3°×2n>=<く2n>,
いつe
<60>=<2°×15>=<15>=15,
8-3
<8n>=<2°×2n>=<2n>
さい
15
よって, く2n>+ =8を満たせばよい。
<2n>
これより,<2n>-8<2n>+15=0
これを解くと,<く2n>=3, 5
<2n>=3のとき,n=2×3Xm'(m=1, 2, …)
だから, n=6, 6×2°=24, 6×3°=
54, 6×4°=96
<2n>=5のときは, (2)と同じである。
よって, n=10, 40, 90, 6, 24, 54, 96
TTOKキ
20-1
す(はーす) .

Answer 1

ととろ

まず a=〈n〉と思い込みます
√n×√a が有理数になるので、nに対して
√(an)が有理数になる最小のaを考えます
〈n〉=5なら √(5n) が有理数になるので
n は 5×(何かの2乗) で表せる数となります

あとは解説を読めば理解できると思います

かりん

明日考えてみて難しかったら質問させて頂きます、！
よろしくお願いします🙏

かりん

遅くなりすみません😭
解説してくださった最後の2行が分かりません、、
‪√‬5nが有理数だった時、nをどうやって求めればいいのでしょうか？

ととろ

(1)はわかりますか？

まず、求める自然数は100以下です。これは問題文に書いてあります。このように自然数や整数で、その範囲が指定されている場合、「求める」よりも「探す」問題の場合が多々あります。

それを踏まえて問題を整理します。
√(5n)が有理数でnは自然数なので、√(5n) は自然数になります。これで探す範囲が有理数全体から自然数に絞れました。

次に√(5n)が整数ということはnが(5×[何かの2乗]) になっていることが分かります。これは[何か]をmとかにして n=5×m² を√(5n) に入れてみると√が外せて自然数5mになることで確認できます。

このようなmの候補を 5m²=n≦100の範囲で探します。m²≦20の自然数ですからmの候補は1,2,3,4 に絞り込まれます。
それぞれに対するnは
m=1 → n=5m²=5×1²=5
m=2 → n=5m²=5×2²=20
m=3 → n=5m²=5×3²=45
m=4 → n=5m²=5×4²=80
としてnが求まり(探せ)ました。

(1)の解説にはこのような内容を簡潔に書いてあります。読んで理解してみて下さい。