362 第5章 微 分法
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例 題 167 第n次導関数2)
例
関数 y=sinx の第n次導関数を求めよ。
考え方例題166と同様に実際に第4次導関数ぐらいまで計算してみて、第れ次M
する。
解答
ソ=sinx
M
y'
y"=(y')=(cos.x)/==sinx
y=(y")%3 (-sinx)'=-cosx
y0=(y")=(-cos.x)'=sinx
となり,yと yが一致しているので,y®=yとすると,
第n次導関数は,
=COSX
4回徴分する。
sinxに戻る。
MMへ
数分
(n=4k)
(n=4k+1)
(n=4k+2)
ーcos.x (n=4k+3)
「と推定できるので, これを数学的帰納法で証明する。
(I) k=0 のとき, ①より,②は成り立つ。
(I) k=p のとき, ②が成り立つと仮定すると,
sinx
COSX
(k=0, 1, 2, …)
COS x
2)
微分
-sinx
-sinx
微分
k=p+1 のとき,
y4(p+1)=(y4p+3)/= (Icosx)'=sinx
y(p+)+1)-(y(p+1))Y%3(sinx)'
y4(p+1)+2)=(y(«(p+1)+1)/= (cos.x)'=Isinx
ya(p+1)+3)-(y(+1)+2)~= (-sinx)'=-cosx
となり,k=p+1のときも②は成り立つ。
よって,(I), (I)より, 0以上のすべての整数kに対して②
=COS X
いの|
は成り立つ。
注》例題167 の②は次のように1つの式で表してもよい。
π
sin(x+)-cos.x, sin(x+z)=-sinx, アン
sia(e+ (+-ia(x+号)
3
+π)=-sin(x+Z)=-coSx.
2
sin x+
2
sin(x+2z)=sinx
ここで、オ=ラ, 2x=号であるから、
2
2T, 2元=
-π であるから,
ym)=sin(x+)(n%3D0, 1, 2, …)
nπ
2
30 144
