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問題を解くためには問題の意味がわからなければなりません。つまり、問題文を読み解いて、必要な情報を手に入れることができなければ、何もできないのです。
必要なのは知識です。今回の問題では特に、濃度に関する知識です。
・質量パーセント濃度の定義
質量パーセント濃度=食塩の質量/食塩水の質量×100
このような知識があれば、問題文にある情報から答えに必要な情報が導けます。つまり、問題文をしっかりと理解できれば解けるということです。
・情報整理
A: 濃度4%, 食塩水の質量x[g], 食塩の量?[g]
B: 濃度10%, 食塩水の質量y[g], 食塩の量?[g]
(b)の操作
A: 食塩4g増
B: 水20g減
・求めたいもの
(b)の操作後の「食塩の質量:食塩水の質量」
[解答]
(b)の操作後の「食塩の質量:食塩水の質量」を求めたい。(b)の操作で食塩および食塩水の質量がどう変化するかはわかっているので、(b)の操作前の食塩および食塩水の質量がわかればよい。
濃度の定義より、
濃度[%]=食塩[g]/食塩水[g]×100
であるから、
(ビーカーA)
4=食塩/x×100
食塩=x×4/100=0.04x[g]
(ビーカーB)
10=食塩/y×100
食塩=y×10/100=0.1y[g]
(b)の操作によって、
(ビーカーA)
食塩: 0.04x[g] → 0.04x+4[g]
食塩水: x[g] → x+4[g]
(ビーカーB)
食塩: 変化なし(0.1y[g])
食塩水: y[g] → y-20[g]
よって、操作後の「食塩の質量:食塩水の質量」は、
(ビーカーA)
[食塩の量] : [食塩水の量] = 0.04x+4 : x+4
↓整数にするために100倍すると、
= 4x+400 : 100x+400
↓4で割れるから4で割って簡単な数にすると、
= x+100 : 25x+100
(ビーカーB)
[食塩の量] : [食塩水の量] = 0.1y : y-20
= y : 10y-200
(3)
(b)の関係から、x,yについての方程式が立てられます。
(b)では「(操作後の)A,Bの濃度が等しい」と述べられています。操作後のA,Bについて、
(Aの濃度)=(Bの濃度)
ということです。ところで、
濃度=食塩/食塩水×100
でしたね。ちなみに、
「食塩/食塩水」は「食塩:食塩」の比の値を表します。ですから、少し考えればわかるように、濃度が等しいということは、比が等しいということと同じになります。したがって、濃度が等しいとき、(2)の結果より、
x+100 : 25x+100 = y : 10y-200
と書くことができます。
これは整理すると、
(25x+100)y=(x+100)(10y-200)
25xy+100y=10xy-200x+1000y-20000
15xy+200x-900y+20000=0
3xy+40x-180y+4000=0
となります。
また(1)よりy=4xなので、x,yの連立方程式になりますから、
{y=4x ⋯①
{3xy+40x-180y+4000=0 ⋯②
②に①を代入すると、
12x²+40x-180×4x+4000=0
3x²+10x-180x+1000=0
3x²-170x+1000=0
(3x-20)(x-50)=0
x=20/3, 50
どちらも連立方程式を満たすのですが、問題にはもうひとつ条件があり、25%をこえる食塩水をつくってはならないということでした。(b)の操作でつくった食塩水が25%以上にならないxでなければなりません。
操作後のAの濃度=(0.04x+4)/(x+4)×100
でしたから、x=20/3を代入すると、
濃度=(0.8/3+4)/(20/3+4)×100
=(0.8+12)/(20+12)×100
=12.8/32×100=40[%]
となるのでx=20/3は不適です。
x=50は
濃度=(2+4)/(50+4)×100
=100/9≒11.1
となり、これは大丈夫です。
よって、x=50をy=4xに代入し、
y=200と求められます。
丁寧な回答ありがとうございます🙇
分かりやすかったです。
食塩水の公式、確認してみます！