2直線の交点を(x0,y0)とします。
この点を通る直線の式は傾きをmとして
y=m(x-x0)+y0 … (a)
で表せます。
直線が変わればx0,y0は変わるので色んな2直線に対して(a)を考えるのはちと面倒くさい、何か良い方法はないだろうか？
と考えて出て来たのが①の式のように、kを使って2直線の式を足してしまう方法でした。それでいいの？という疑問の答えがその下の解説です。
だから
「なんで足してるのか、kはどうして出てきたのか」
の答えは
「そうすると便利だから」
です。
つまりここで言いたいのはkがどんな時でも式は成り立つってことですか？
＞x0,y0というのは座標が（0,0）ということですか？
x0,y0は交点の座標で、2直線によって変わります。
＞つまりここで言いたいのはkがどんな時でも式は成り立つってことですか？
そういうことです。
これ自体はどってことないようにみえますが、交点を通る直線という条件と他の条件、例えば面積や最大値等と組み合わせた問題を解く時に非常に役に立つ重要な式です。
すみません、あとkって片方にしかかけてないのですがそれでいいのですか？(2x-y+1)の方にはかけなくていいのですか？
あと、式同士を足しているのは連立して解くため、と学校の先生に教わったんですがそういうことであってますか？
片方だけkを掛けて足すのは未知数をひとつだけにしたいから。
両方にkを掛けたらkはどんなkであっても方程式を満たす。それぞれにkとlとか別の文字を掛けると値は求まらない。
連立して解くため、というのは違う気がします。先生が何を言いたいのかは私にはわかりませんが、おそらく、連立方程式を解く時に、片方の式に何かを掛けて足したり引いたりする、あのやり方と同じですよ、ということではないかと思います。
もし、この式の意味がわからなくても、2直線の交点を通る直線はこの式を使う、ということさえ覚えておいて、問題をたくさん解けばそのうちにわかるようになります。わからない時はとにかく練習問題を解いてみることです。
x0,y0というのは座標が（0,0）ということですか？