(m-1)2"+!+2+am+1=m.(2m+1-2)+2m+2
以上(i),(i)より,すべての自然数nについて(*)が成り立つ。
1°(2)で用いた方法は,等比数列の和の公式を導くときに使われる方法と同じである.
と推定される。(*)が,すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰輸法で
をのに代入しさえすれば、おなじみの形の瀬化式③が
は、縦、横がa, ag+1 の長方形の面積 a,Qォ+1 と等しく
a+a°+…… +a,?=a,am+1
ax+2
ka,=(n-1
第11章 勇
ので、カ=1 として
カ=2 として
a=2
a+2az=(a,+az+2)+2
a+2az+3as=2(a,+ a;t as+2)+2
が成り立つ。
[B]について、 (2)で誘導にうまく乗り,a,をx。で表)
3)
1
4+1=2-
a-4
a,=2-
ガ=3 として
Xョ+1
得られる。
:. a=8
これらより
24
93
示す。
を求めよ。
(2)2を求めよ。
a=2)
m2(.
次の関係式を満たす数列 {a,}をすべて求めよ.
列
+2)+2
ka,=(n-1)
28の Cmti)amt1
(埼玉大)
のより。
eはSm
(思考のひもとき
S.+(m+1)a m+1=ml
(k=1
+am+1+2)+2
- 2
S,= r+2+3+
……+nr
の両辺をr倍すると
1.
+(n-1)r"+nr"+1となり辺々引くと
(1),(2)の結果を用いると
rS,=
(1-r)S, =|r+パ +r +……………+pm-nr"+1
* am+1=2%+1
となり、n=m+1のときも(*)が成り立つ、
解答
(1) 初項2, 公比2の等比数列の初項から第n項までの和を求めて
ー22-2-1-2(2"-1)」
=2"+1_2
よって,①を満たす数列 {a,}は
2-1
a,=2"
(2) S,=242" とおくと
解説
S,=1-2 +2-2°+3-2°+
-2 25, =
+n-2"
1-2°+2·2°+
S=a+ar+ar+ +ar"-1
rS=
art ar+… +ar"-!t an
より(1-r)S=a(1-y");
=2*+1-2-n-2*+1
2 (3)では,数学的帰納法を使わずに, ①から数列 (a)の漸化式を求めて次のように
解いてもよい。
