少しニュアンスが違います
stopだと、一旦やめるけど、またすることある、もしくはまたするかもしれないなど、再開の可能性があるものに使い、
quitだと、辞めて、もう2度とすることがないものに使います
なので、stop drinking は今回はやめておくけど、またお酒を飲む機会があるかもしれないというニュアンスが含まれていて、quit drinking はお酒を飲むことを辞めて、もう2度とお酒を飲まないというニュアンスが含まれていると思います
長文失礼いたしました！頑張ってください！
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わかりやすく説明していただきありがとうございます！😭