Question

なつき

この問題教えて下さい。ベクトル全然分からないので、できるだけ丁寧に解説して頂けると嬉しいです。

4|1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をP,辺BCを1:2に内分する
点をQとする。このとき内積OP.OQ と△OPQの面積を求めよ。

Answer 1

Y

①OPベクトルとOQベクトルの内積　
②△OPQの面積

まず①の着眼点についてですが、
この問題はOPベクトルとOQベクトルを計算するという話なので、
そもそもOPベクトルとOQベクトルとはなんぞやということを考えます。
どう考えるかというと、問題文に書いてあります。辺ABの中点がP、辺BCを1:2に内分した点がQとします。
そして、OPベクトルとOQベクトルを計算します。
　
（計算過程は写真を参照)

この問題のポイントは2つの前提知識がないと解けないということです。
★内分点の位置ベクトル
★内積の式

次に②に着眼点についてですが、
三角形の面積の話なので、三角形の面積の公式を考えます。三角形の面積の公式を考えるとsin 角POQの値がわかれば解けるということにきづきます。そして、①の式を利用することでsin角POQの値を求め代入をし、計算をします。

（計算過程は写真を参照)

この問題のポイントは3つの前提知識がないと解けないということです。
★三角形の面積の式
★内積の式（①でも使用した）
★三角比の相互関係