Question

みょん

記録用

練習 平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり, また, 3つ以上の円は同一の点では交わとわ
130 いn個の円がある。 これらの円によって,平面は何個の部分に分けられるか。
n=4
n個の円で分けられる平面の部分の個数を an とする。
a=2
D3
(n+1)個目の円を加えると, その円は他の n個の円の
おのおのと2点で交わるから, 交点の総数は 2n 個で,
2n 個の弧に分割される。
これらの弧1つ1つに対して, 新しい部分が1つずっ
増えるから,平面の部分は 2n個だけ増加する。
Du/
D4
De
D1o
D。
D。
D、 Di4
D2
Di
よって
D13
D。
an+1=Qn+2
すなわち an+1-an=2n
数列 {an}の階差数列の一般項は2n であるから,
n22のとき
a=2 (D, D)
a2-4 (D~D)
43=8 (D~D。)
a4-14(D~D4)
n-1
a,=ai+22k=2+2·-(n-1)n
k=1
=n?-n+2
そn=1のとき
これは n=1のときも成り立つ。
ゆえに,求める個数は
12-1+2=2
(n°ーn+2)個
a」に一致する。