⑵では、
(α - 3)(β - 3) < 0 ･･･ (A)
が満たされていれば必ず判別式Dは正
D > 0 ･･･ (B)
なので、判別式Dについての条件は書いていません。
もちろん書いても間違いではありませんし、ちゃんと正しい答えが出ます。ただ、判別式Dについての条件を2回ダブって宣言することにはなりますね。
以下、なぜ(A)が満たされていれば必ず判別式Dが正なのか説明します。(少しややこしいかもしれないので、分からない所ありましたら遠慮なくご質問ください。)
まず、(A)が満たされていれば、
α - 3 と β - 3
を2解にもつ2次方程式
{x - (α - 3)}{x - (β - 3)} = 0 ･･･ (C)
の判別式 D' は正になります。なぜなら、この(C)の判別式D'は
D' = {(α - 3) + (β - 3)}^2 - 4(α - 3)(β - 3)
であり、右辺第1項 { }^2 は0以上なので、(A)が満たされていれば、D' > 0 になるからです。
では次に、今問題で考えている
α と β
を2解にもつ2次方程式
(x - α)(x - β) = 0 ･･･ (D)
を考えます。しかし、判別式Dを具体的に書かなくとも、この2次方程式の判別式Dは正だと分かります。
なぜなら、この2次方程式(D)の左辺の2次関数
(x - α)(x - β)
は、1つ前の2次方程式(C)の左辺の2次関数
{x - (α - 3)}{x - (β - 3)}
を単にx軸方向に +3 平行移動したものになっていますよね。
そしてこの平行移動する前の2次関数 {x - (α - 3)}{x - (β - 3)} は異なる2つの実数解をもつことがすでに分かっています。（D' > 0）
ただx軸方向に平行移動しただけで、解の個数が変わるはずが無いので、平行移動した後の2次関数 (x - α)(x - β) も異なる2つの実数解をもちます。
よって、(A)が満たされていれば、2次方程式(D)の判別式は正になります。
以上が⑵で判別式が不要なことの説明になりますが、
問題を解いてる時にこのようなことを考えてる時間があれば、多分その間にさっさと判別式の条件追加して解いてしまった方がはやいですよね（笑）
でも、上の説明にあったことは、一度ちゃんと考えておくと、同じような問題に出会ったときも「あ、これたしか判別式の条件要らないな」と分かるようになりますので、ぜひ参考にしてみてください！
長くなってしまい申し訳ありません、、🙏
以上です。ご質問等ありましたら遠慮なくお聞きください！
