Question

@??

2枚目の、解説1行目のように置けるのは何故ですか？

A
標準
数 252,〈積分に関する条件から関数を決定〉
正の整数 m と, 定数関数でないxの整式で表された関数 P(x) が, 次の条件を満たして
いる。
すべての実数xに対して, (P(t))"dt=P(x')-P(0)
このとき P(x)3D である。
[18 早稲田大·商)

P(x)はxの整式で表されているから,最高次の項を ax" とする。
と係数を
全aキ
このとき,(P()}"dtの最高次の項は
ar)"dt=S"mdt= mn+1
Qm
-t
1x
:mn+1
,mtmn
am
ーmn+1
mn+1
Jo
また。P(x°)-P(0) の最高次の項は ax*" であるから, これらの次数
と係数を比較すると
m
a"
mn+1=3n
=a
mn+1
のから
(3-m)n=1
-1
これを満たす正の整数 m, n は
m=2, n=1
る
a?
3-
よって,② から
すなわち
a(a-3)=0
=a
2-1+1
aキ0 であるから
n=1 より P(x) は1次式であるから, P(x) = 3x+b と表せる。
また, m=2 より
a=3
SiP(O)"dt=S(3t+b)"dt= S,(or+6bt+6)dt
x
3t+3bt°+6°t| = 3x°+3bx°+6?x
10
P(x°)-P(0) = (3x°+b)-6=3x°
3x°+36x?+6°x=3x°
また
よって
係数を比較すると
36=0, 6°=0
よって
b=0
したがって
P(x) = 3.x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

最高次数をnと考えたとき、その係数はわからないのでとりあえずaっておいてるだけです

@??

なるほどです。単項式だというのはどこからわかるのでしょうか？

aporon

単項式であるとはどこにも書いてないですよ
最高次数がaxⁿであるとしか書いてないです

@??

そうですよね！ax^n +bx^n -1＋‥のようにおかなくてよいのでしょうか、？

aporon

今、P(x)が何次式かを知りたいだけなので、一番でかいやつだけに注目して計算しても大丈夫です

@??

何度もすみません🙇‍♀️
P（x）が何次式かだけ調べれば良い、というのはどこから判断すれば良いですか？

aporon

何次式かわからない整式だと、ax²+bx+cみたいに置くこともできません
せめて多項式の次数がわかれば与えられた等式を使うことができますね

@??

分かりました！説明ありがとうございます🙇‍♀️