Question

@??

マーカー部分が言える理由を教えてください🙇‍♀️

正の整数 m と,定数関数でないxの整式で表された関数 P(x) が, 次の条件を満たして
いる。
すべての実数xに対して,P(t))"dt= P(x^)-P(0)
このとき P(x)=D口である。
[18 早稲田大·商)

また,P(x°)-P(0) の最高次の項は axn であるから, これらの次数
hozrduEanthaecdTiula
セのであ使むっれるがわ
両 高次の項を ax" として、 。P(E)}"dt と P(x')-P(0) について, 最高次のエ
252
はxの整式で表されているから,最高次の項を ax* とする。
-のとき,)(P(t)}"dt の最高次の項は
aキ0 で,n
f'ar"dt= S,a"t"dt=,
am
x
-tmn+1
am
mn+1
cmn+1
10
mn+1
と係数を比較すると
mn+1=3n
の,
am
三a
mn+1
(3-m)n=1
0から
これを満たす正の整数 m, nは
*1の正の約
るから
m=2, n=1
a?
よって,2 から
3-m=1,
2.1+1
三a
すなわち
a(a-3)= 0
aキ0 であるから
n=1 より P(x)は1次式であるから, P(x) = 3x+b と表せる。
a=3
また, m=2 より
S(P()"dt=(3t+6)°dt=(9r+6bt+6)dt
3t°+36t?+6°t| = 3x°+36x2+6°x
|0
P(x°)-P(0) = (3x+6)-633.x
3x°+36x°+6°x= 3x°
また
よって
係数を比較すると
36=0, 6°=0
よって
b=0
したがって
P(x)= 3x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

peekAboo

P(x)=ax^n+∑{i=0 to n-1} (b_i x^i)
となります。

よって、
P(x^3)=a(x^3)^n +∑{i=0 to n-1} (b_i (x^3)^i)
=ax^3n +∑{i=0 to n-1} (b_i x^3i)
となります。

このことから最高次数はax^3nであることが確認できます。

よくわからなければ例として
f(x)=ax^2+bx+cについて
f(x^3)を考えてみてください。

@??

解答ありがとうございます！
xの3乗の次数が何であっても3の倍数になるからという考えであってますか？

peekAboo

その理解であっていますよ(^^)

P(x^3)には
x^3i (i=0 to n)
となるので
3i (i=0 to n)
の中で最大なのは
3nとなります。

@??

理解できました！分かりやすい説明ありがとうございます！！☺️