1 素因数分解
(東海大)
い整数になるような最小の自然数 nは[(2) ]である。
(イ)n?-20n+91 の値が素数となる整数nは,
(明治学院大·経,社)
と
]である。
素因数分解が基本
V24n が整数=→ 24nが平方数(ある整数の2乗)
→24nを素因数分解し
こときのすべての素数の指数が偶数
である。これより,(ア)のnはどのような形でなければならないのかがわかる。
素数の条件の使い方
ればならない(そうでないと素数かがさらに素因数分解できることになってしまう). 従って, このと
き(z, y) は(1, p), (-1, -か), (p, 1), (一カ、 -1) に限られる。 (イ)は, nの2次式が因数分解
できるのでこの形になって解ける(一般には難しいか解けない).
整数z, yと素数かがか=zyを満たすならば, z, yのどちらかは 土1でなけ
■解答
(ア)(1) V24n =V2°.3·n =N (Nは自然数) とおいて平方すると
合nは自然数で考えるので N>0
23.3-n=N?
N2を素因数分解したときの各素数の指数は偶数だから, 2の指数は4以上の
偶数,3の指数は2以上の偶数である.よって, n=2-3·k? (kは自然数)と書け →2°-3·nの2の指数 3の指数が
る。最小のn は, k=1 のときでn=6.
偶数なのでnは2-3で割り切れ
る。kは何でもよい(2や3で害
り切れてもよい).
(2) n=2-3-k?のとき, N=/24n =V24.32.k? =22-3·k=12k
12k>100 のときん29だから, N>100 となるような最小のkは9で, そのと
きのnは2-3-9?=486
(イ)n?-20n+91=(n-7)(n-13)
であるから,整数nに対して①が素数となるならば
n-7=±1 または n-13=±1
でなければならない. よって, n=8, 6, 14, 12 であり, 順に①に代入すると①は
-5, 7, 7, -5となる. 従って求める nは6と14.
