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私の考察ですが…
まず、the を付けると、特定の（または既出の）人物や物を指します。
a friend of mine という言葉自体が、「不特定の中の1人」という意味なので、この語彙で特定の意味のtheをつけることが出来ないのではないでしょうか。
分かりにくかったらすみません。
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特定の意味がtheとof mineで重複してしまっていると言うことですね。ありがとうございます！