回答

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3) 〇  like ~ingとlike to ~は少し違いがあります。
like ~ing は「一般的に~することが好きである」の意味で、like to ~は「~したい」(≒want to ~)です。
ただ、この例文では具体的な状況の説明がないので、どちらの意味でも構わないと思います。
アマンダは音楽に合わせて踊るのが好きです。/アマンダは音楽に合わせて踊りたいと思っている。
もし now(今)があれば、like to ~だけが正解となります。

4) 〇  ※start ~ingとstart to ~は「~し始める」の意味で、ほとんど同じと考えて良いと思います。
その時、雨が降り始めた。

参考にしてください。

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