Question

Ha_tig

この問題が解けないので、解説していただきたいです。解答もあまりよくわからなかったです。（自分の理解力が足りないせいだとおもわれます。）誰か教えてください。

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αを実数の定数とし, 実数 x, ッについての条件Aを考える。
A:y>-x°+3(α-1)x+α+1 かつ y<2x°+(α+3)x+4
(1)「任意のxに対して, それぞれ適当なッをとれば条件Aが成り立つ」
ための αの値の範囲を求めよ.
(2) 「適当なyをとれば, すべてのxに対して条件 Aが成り立つ」 ための
αの値の範囲を求めよ.
(広島修道大 法)

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とおくと,条件Aは,
ができる。これに対して, (2) では, 君は先
にyの値を選んで相手に見せなければいけ
ない。当然ながら, (2) の方が君にとっては
きびしいものとなる. どういう状況であれば,
君はつねに勝つことができるだろうか?
f(x)<y<g(x)
とかける。さて, xを1つ与えたときに、。
をみたすyがとれる条件は,
f(x)<g(x)
が成立することである.したがって, @。
任意の実数xで成立する条件を求めれば
よ
…の
い、2より,
y= yo
g(x)-f(x)>0
すなわち,
3x°+(-2α+6)x-α+3>0
この不等式が,すべての実数xで成立する
Q
x= Xo
(ア)
(イ)
(ウ)
条件は,
[判別式]-(-a+3)°-3(-α+3)<0
上の3つの状況を考えてみる. 網目部分は
Aが成り立つ領域,すなわち君が勝つ点の
集まりである。 (ア)のように2つの放物線が
交わるか接してしまうと, 相手に x=xo と
いう値を選ばれてしまえば, 君がどんなy
の値をとっても勝つことはできない。これに
対して,(イ)ではどんな直線 x= x, も, 網目
部分を通るから, 君は相手の選んだ x。を見
て, x=x。 上で網目部分にある点(xo, y) を
とり,yの値を決めればよいことになる.つ
まり,(ア)のときは(1)のルールでも君は勝て
ないが,(イ)のときは(1)のルールでは勝てる
のである。しかし, (2) のルールではどうだ
ろうか? (2)では君がyの値yoを先に選ば
なくてはいけない. (イ)の状況では, どんな
0をとっても直線 y=yo 上に, 網目部分以
外の点(x, yo) があるので, そのxを相手に
選ばれてしまうと君は勝つことができない。
これに対して,(ウ) の状況では, 図のように
%を選べば直線 y=yo は網目部分にまるご
と含まれている。 つまり, 君が勝つ点ばかり
である。よって, 相手がどんなxをとろう
が,君は勝てることになる. (イ) と(ウ)の違い
は何だろうか?それは, 2つの頂点P, Q
のy座標の大小である. このことを考えて,
数学的に表現すると, 次のような解答になる。
(解答)
f(x)=-x°+3(α-1)x+α+1
g(x)=2x°+(α+3)x+4
4
α(a-3)<0
ゆえに,
0<a<3
(2) いま y=yoと選んだとき,すべてのx
に対して①が成立するとすれば,
すべてのxに対して f(x)< yo<g(x)
すなわち,
[f(x)の最大値]<yo<[g(x) の最小値]
である。よって,
[f(x)の最大値]<[g(x) の最小値]
である。逆に,④が成立しているとき, 例
えば,
[f(x) の最大値]+[g(x) の最小値]
Yo=
2
とおけば, 3 が成立するから, y=yo を選
ぶことによって, ① がすべてのxで成立す
ることがいえる. したがって, ④が成立す
るaの条件を求めればよい。
3(a
9°-14a+13
X一
4
o(x)=2(x++3+--6a+2
Q+3?
4
-Q-6a+23
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であるから,
f(x)の最大値=-
9°-14a+13

2
g(x) の最小値=ニe-6α+23
8
よって,④より,(
2(9a°-14a+13)<-α°-6α+23
19-22a+3<0
(α-1)(19α-3) <0
ゆえに,
3
-<α<1
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