Question

Nana

グレーのマーカー部分、どうしてこうなるんですか？
教えてください🙇

404 方程式 x-3α'x+16=0 (aは実数)が異なる3つの実数解をもつときの
aの値の範囲を求めよ。また, このときの正の実数解の個数を求めよ。
9MO
[14 北海道楽大)

404
テーマ
3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条
件 y
Ar
Key Point 150, [151
f(x) =x°-3a°x+16 とする。
3次方程式 f(x)=0 が異なる3個の実数解をも
つから, 3次関数 f(x) は極値をもち, 極大値と
極小値の積が負になる。
ここで,f(x) が極値をもつことから, 2次方程
式f(x) =0 は異なる2つの実数解をもつ。
f'(x) =3x?-3a?=3(x+a(x-a)
f'(x) =0 とすると
x=±a
よって
aキ0
このとき,f(x) の増減表は次のようになる。
[1] a>0 のとき
x
ーa
a
f'(x)
0
0
f(x)
極大||
極小
[2] a<0 のとき
x
a
ーa
f(x)
f(x) 極大 極小
0
0
いずれの場合も, 極大値と極小値の積は
f(a)f(-a)=(-2a°+16)(2a°+16)
=-4(a°-8)(a°+8)
=-4(a-2)(a+2)(α°+2a+4)(a?-2a+4)
f(a) f(-a)<0から
(a-2(a+2(a?+2a+4)(a?-2a+4)>0
a?+2a+4=(a+1)?+3>0,
a?-2a+4=(a-1)+3>0 であるから
(a-2Xa+2)>0
aく-2, 2<a
これはaキ0 を満たす。
このとき,y=f(x) のグ
ラフは, f(0) =D16>0か
ら右の図のようになり,
正の実数解の個数は 2個
ソ=f(x)
よって
S
lal
ーlal 0
x
である。
+|ト
6

Answer 1

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

掛け算では正×正=正は分かりますよね？
グレーのひとつ上の行の式>0すなわち正だと分かっていてグレーの部分の上二行の平方完成から(a-2)(a+2)以外の部分も正だと分かるから(a-2)(a+2)も正じゃないとグレーのひとつ上の行の式か成り立たなくなります。だから(a-2)(a+2)も正になります。

Nana

ありがとうございます！