C:y=r, D:y=-2(ェー3a)&-6aを考える。
(1) C, Dの両方に接する接線が,ちょうど2本
してください。S1 で得た結果は、ここでは証明するこ
$2 面積の応用間題
従って、(2)で求めた交点を Mとすれば, ェ=aでの
Cの接線とC, D の接点 Ti, Ta,およびMの位置関係
つ30分を目安に,手を動かした上で読み進めるように
同様に、エー
C, D の後点を
も、T.M:T
ことがわかる。
うな長き,お』
得る。従って、
の面積は、三1
となく用いてよいものとしましょう。
)=D0
問題 1.2 a>0とし,2つの放物線
9
積Sの
倍て
存在することを示せ。
(2)(1)の2つの接線の交点の座標を求めよ。
(3)(1)の2つの接線とC, Dの接点として現れ
る4点を頂点とする四角形の面積を求めよ。
であるから、
9
(8-a
16
リ=r'とリ=
その相似比は
2曲線の共通接線は、
一方の接線で, もう一方にも接するもの
とみるのが定石です。なので(2)までは標準的. 問題は、
まともにやると大変な(3)をどう処理するか, ですね。
(1) C上の点(1, 13)におけるCの接線は
の相似の中心
(3a, -6a)
27
4
では,最後
y=2tエ-t?
2
問題1.3
これがDに接するのは, ェの方程式
-2(r-3a)-6a=2tr-t?
3
2
を通る直線
V 3
→2r°-2(6a-t)x+18a°+6a-t"=0 …①
だし>01
が重解を持つとき、ゆえに, ①の判別式が0となるよう
な実数!が2つ存在することをいえばよく,
1,mお
ゴラフ
(判別式)/4=(6a-t)2-2(18a"+6a-1)
るとき、m
めよ。
=3/2-12at-12a=0… 2
数Iで学
ことと、
- 座標を
てした手
を1の2次方程式とみれば, その判別式はa>0のとき
必ず正となるので, 題意は示された。
「なるべく言
たか?
(2) 2の2解2a土2Va'+aをa, β (a<β) とおく
と,2接線はCのェ=a, βでの接線ゆえ,その交点は
まず、
傾きはどち
a)4
が
2
a+β
ag)で与えられる。
2
従って、
解答の
a+β=4a, aβ%=D-4a だから, 求める交点は
つがよい
(2a, -4a)
整理して
(3)エ=QでのCの接線とDの接点のェ座標は,Uに
三見るだ
ておけ
2式を連立て
関係より,重解の2倍は
2(6a-a)
-6a-aだから, D
2
との接点のェ座標は 3a-
=2a+Va'+a
2
従って、
は図のようで、T,M:T,M=2:1とわかる。
