✨ ベストアンサー ✨
acceptingは、ここではonの目的語（の一部）なのです。
前置詞の後ろは名詞がきますから、acceptingは動名詞になっています。
meは何かというと、acceptingの意味上の主語です。
動名詞の意味上の主語（=acceptingしたのは誰か）が、文の主語（she）と異なるとき、動名詞の前に意味上の主語を書きます。
このように書くとわかりにくいかもしれないので
次の二つの文を見比べてみてください。
①She insisted on accepting the offer.
彼女は、その申し出を[彼女自身が]受け入れると主張した。（=受け入れますよって言った）
onの目的語がaccepting the offer
前置詞の後ろは名詞のまとまりがくるので、動名詞のacceptingを使う
②She insisted on me accepting the offer.
彼女は、私がその申し出を受け入れるよう、主張した。（=受け入れろって言った）
①の文の動名詞に意味上の主語がついている。
ちなみに②は次の③のように書いても良いです。
③ She insisted on my accepting the offer.
②と③は意味は同じで、動名詞の意味上の主語の表し方が違うだけです。
目的格で書いても、所有格で書いても、どちらでも良いです。
ご丁寧にありがとうございます！
おかげで分かりました🙇🏻🙇🏻