Question

たたた

写真の問題の(2)の赤線の不等式について質問なのですが、(便宜上、左から各式をa,b,cとおきます。)
a≧b>cから、なぜ、a≧cといえるのですか？
b>cだからa=cは成り立たないのではないでしょうか？たがら、a>cと表すべきなのでは？

nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法
用いて証明せよ。
(1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)
1
(2) 1+ + 133 +
2
(2) i)n=1のとき
左辺=1+-
+
ここで,
左辺=1,右辺=241=1 となり,n=1のとき②は成立する。
ii)n=kのとき, ② が成立すると仮定すると
1
1+
1
2k
3
k k+1
②' の両辺に
を加えると
k+1
+ ....+
すなわち,
1 + 12/22
+
k+1
1
2
2k
右辺=- +
k+1
+ N
1 2n
n n+1
+
11/13 + ....+
+
2k+1_2(k+1)/
b+2
1+1/+ +
1
k+1
1
1
k k+1
k+1
2k+1
k+1
k
(k+1)(k+2)
->0
2k+1>2(k+1)
k+2
k+1
‥. ②
215
【左辺を証明したい式
にする
<ここがポインド
k+₁=2(k+1)
k+2
これは, ②n=k+1 を代入したものである.
よって, n=k+1 でも②は成立する。
i), ii) より, すべての自然数nについて ②は成立する。

Answer 1

高橋

ご指摘の通り、この証明には不備があるように見受けられます。
左辺＝右辺が成り立つのはn＝1のときだけで、nが2以上のときは左辺＞右辺になります。
したがって、証明は以下のように構成されるべきです。
(i)n＝1のとき、左辺＝右辺であることを示す。
(ii)n≧2のとき、左辺＞右辺であることを数学的帰納法で示す。
　(ii-1)n＝2のとき、左辺＞右辺であることを示す。
　(ii-2)n＝k(≧2)のとき左辺＞右辺であると仮定し、n＝k+1のときも左辺＞右辺であることを示す。
　(ii-1)(ii-2)より、2以上のすべての自然数nについて左辺＞右辺である。
(i)(ii)より、すべての自然数nについて左辺≧右辺である。(等号成立はn＝1のとき)