重要 例題18 ベクトルの不等式の証明 (1)
次の不等式を証明せよ。
(1) -lallosa-b≤allo
−|à||b|≤à·b≤|à||b||
JOA-OP
p.399 基本事項 ①1
指針(1) 内積の定義・6=|a|||cose (0は, ものなす角)において、-1≦cos0≦1で
あることを利用。ベクトルの大きさ
について
≧0であることに注意する。
(2)まず,la+≦|a|+|6|を示す。左辺,右辺とも0以上であるから,
A≧0, B≧0のとき A≦B⇔A'sB
解答
(1) [1] = 0 または = 0 のとき
a = 0, |a||5|=0 であるから
であることを利用し,a+
は (1) の結果も利用する。
116を利
次に,|a|-||≦a +6 | の証明については、先に示した不等式 la +6≦la | + 16 | を利
用する。
¥0 かつ ¥0 のとき
(2) lal-osa+b≤la+b
lãi lời là tôi
ゆえに
là lời cả b=là lời=0
|a1||31=0
①
0°180°より, -1≦cos0≦1であるから
|-||||≧||||cos o≦|a|||
−|à||b|≤à·b≤|à||61-101-11
[2]
はすべての実数tについて成
a, ものなす角を0とすると - 11/1から③の左辺=0
り立つから, (A
224+5.88 18/01/2015
a.t=|a|||cose
の判別式をDとすると,
la >0 より
D≦0
①から
[1], [2] 5-la||b|≤ä·b≤ä||b|
(2) (a+b)²-lä+61²
² を示す。 (右辺) - (左辺) ≧0を示す過程で
a+16)
lä +6²≤(a+b)²
=|a|+2|a||8|+|(a+2a+1)
=2(a||6|-à-b) ≥0
+1620 +3≧0から
|a+6|≧||+|8|
② において, a を a +6,方を一方におき換えると
läsā+b+b|
| |-16|≦a +6...... ③
ゆえに
②③ から
(JUS
lä|-|b|≤|a+b|≤|ā|+|6|
別解 (1)a=0のとき、明ら
かに成り立つ。
0のとき
a +6 ≧0 すなわち
t²la²+2tà·6+16²20 A
平
|à+b-b|≤|ã+b|+|-|-)+²6-1-1
2=(a-1から
−|à||b|≤â·õ≤|ã||õ| ~O
TOPI
12
(検討)
la +6|</a|+|6|は三角形
における性質「2辺の長さの
和は、他の1辺の長さより大
きい」 (数学A) をベクトル
で表現したものである。
B
0
a+b
6
A
a
=[a+b|<|a|+|b|a
OB < OA+AB
