Question

ぴひょ

無理数の証明
（2）についてです。
写真二枚目のように分数を使って証明しようとしたのですが、ここから進められません。ここから進めるとしたらどのようになりますか？
また、模範解答（写真三枚目）の解き方も理解が出来ません。
どちらかでも説明して欲しいです。

模範解答の分からないところは最後の1文です。どのように（1）につながっているのか分かりませんでした。

67 (1) m が自然数のときが整数でなければ,mは無理数であることを
証明せよ。 ×
*****
CO
(2) n2以上の整数のとき, n2+3は無理数であることを証明せよ。
[09 京都教育大]

M
√3+3を有理数と仮定してんのとき
b
√1²13
a
(a,bは互いに素である整数)とすると
3+ 4 =
両辺を二乗して²+3=
ミュ
a² (n²+3)=b²
ひとかは互いに素だからパ+3=6k(kは実数)
Izz a² bk = b ² = ak= b
a²n² - b² = -3α²
(an-b) (amb)--3a²

67 (1)与えられた命の対偶「自然数のとき。 V数
ならば､数である」 を示す。
であると仮定すると。 互いに調であるのを
P
m-
と表される。
用いて、
両辺を2乗して整理すると
gは互いに素であるからも互いに素である。
よってはがの倍数であるからは自然数) とおけ
すなわち m'=1
る。このとき
は自然数であるから=1
m=f=pとなり
となり
以上から、対隅が示されたので、もとの命題も示された。
(2) 2以上の整数のとき,Vn243 が整数でないことを背理法を用
いです。
2+3が整数であると仮定する。
(k+n)(k-n)=3
²+3√²=nから
このとき、 整数kを用いて, 3+3=kと表される。
両辺を2乗すると
n²+3=k²
よって
・①
がで吊る
は整数である。
68 (1)y=xy1とする。
x
すなわち k-w=3
kin
R
ゆえに
よって、n>0から
k+n>k-n>0
k+n, knはともに整数であるから、①を満たす整数+
knは
k+n=3,k-n=1
これは,"≧2と矛盾する。
これを解くとk=2,n=1
したがって,
+3 は整数でない。
2+3は自然数であるから, (1) で示された命題により、V3は
無理数である。
key (1)で示したことを利用する。
[Support]
を用いて、
√3+3が整数でないことを示す。
key] 2つの条件に対し、
Birth

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ひま

最後の式でmodaにおいて-b^2=0となるが、これはa,b互いに素に反する
modが分かんなかったら、左辺はan-bもan+bもaの倍数じゃないはずなのに右辺はaの倍数ってことは矛盾してるって読んでください

解説のほうは(1)でm=n^2+3としたってことです
√(n^2+3)が整数でないなら(具体的に√7とか√12とか)これは無理数ってのは(1)で示せてます
(1)では任意の自然数mについて証明しましたが、n^2+3ってのは当然自然数なわけですからこれでも成り立つわけです

ぴひょ

わかりやすい説明ありがとうございます！理解出来ました！！