まず、名詞節thatは従属節なので、that以下はいわゆる完全文になります。今回であればthat he(s) said(v) so(o)となってるわけです。そして意味は、「彼がそのように言ったということ(事実)は正しい」となります。
ここで質問のようにwhatを使うと、what=the thing whichの関係詞なのでwhat以下は不完全文(名詞が欠けてる)になるはずですが、what he(s) said(v) so(o)と完全文になっており間違いになります。
もし、soを消して、what he said is true.とすると、「彼が言ったこと(内容)は正しい」となりthatとは意味が変わってきます。
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なぜか後半が消えてるので補足。
「彼が言ったこと(内容)は正しい」となります。