Question

ぷりん

このk!はどこからきたのですか？

思考のプロセス
nを4以上の整数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。
2n<n!
自然数nについての等式, 不等式の証明は数学的帰納法の利用を考える。
目標の言い換え
[1] n=4 のときに ① が成り立つことを示す。
( ① の左辺)=|
(①の右辺)=
[2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると,n=k+1 のときにも ① が成り立つ」
ことを示す。
n=kのときの不等式2' < h! が成り立つと仮定。
⇒ n = k+1 のとき
(k+1)! - 2k+1 = (k+1) k-2k+1 > (k+1)-2k+1 =…. > 0
仮定の利用
<< Re Action 数学的帰納法では,n=k+1のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ 例題274
解 [1] n=4 のとき
(左辺) = 24 16, (右辺)=4!= 24
(左辺) (右辺)であり, ① は n=4のとき成り立つ。
[2]n=kk≧4) のとき, ① が成り立つと仮定すると
2k<h!
n=k+1のとき
n=4 をそれぞれに代入して
(左辺) (右辺) を示す。
(右辺) (左辺)= (k+1)! 2k+1
k≧4 であるから
2k(k-1)>0
= (k+1)k!-2k+1
> (k+1)2k-2k+1
=2^{(k+1)-2}
= 2¹ (k-1)
2k+1 (k +1)!
nは4以上の整数である。
よって
ゆえに, ① は n=k+1 のときも成り立つ。
[1], [2] より, 4以上のすべての整数nに対して ① が成
り立つ。
4以上の整数について命
題が成り立つことを証明
する場合は, まず [1] と
して n=4 のとき成り立
つことを示す。
(右辺) (左辺) > 0 を示
す。
仮定した不等式を用いる
ために! をつくる。
条件を忘れないよ
うにする。

数学的帰納法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まし

(k+1)！は(k+1)k(k-1)…なのでkより右の部分を階乗してます！

ぷりん

なるほど！！💡
教えてくださりありがとうございます✨