Question

ひまわり

なぜマーカーの部分を示さなければいけないのか分かりません💦

例題 33] Pを放物線y=-x上の点とし, Qを点 (-5, 1) とする。 2点P.
Qを通る直線が,点Pにおける接線と直交しているときの点Pの座標を求め
[01 崇城大]
よ。
指針 法線の方程式 2直線が直交
を利用する。 >
傾きの積=-1
解答 Pt,t) とおく。 y'=-2x であるから,点Pにおける接線lの傾きは-2t
t=0 のとき, lはx軸と一致する。 このとき,直線PQはx軸と直交しない。
-(x-t)-t² 2
x-2t=-1
よって t≠0 ゆえに、直線 PQ の方程式は y=
2t
この直線が点Qを通るから 1=
2t
1=24+ (-5-t)-t²
ゆえに 2t3+3t+5=0
よって (t+1)(2t2-2t+5)=0
2
9
2t2-2t+5=2t
+
>0 ゆえにt=-1
2
2
したがって,求める点Pの座標は(-1, -1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

2t²-2t+5=0が実数解を持たないことを示しています。
tの答えは、-1しかありませんよ、ってことですね

ひまわり

なら正負は関係ないですか！？

きらうる

いえ、関係あります。
今回のやり方は、平方完成しています。
二次関数としてみると、下に凸のグラフであり、頂点のy座標がプラスなので、式全体も必ずプラスになることを言っています

ひまわり

ありがとうございます！

ひまわり

ごめんなさい、追加で負だったらなぜいけないんでさょうか、？

きらうる

もう一度整理すると、この問題におけるtの条件を求めたら
(t+1)(2t²-2t+5)＝0
という式が出てきました。これより、tの値は
t=-1　と　2t²-2t+5＝0　の解が答えになるはずです。
そこで、2t²-2t+5＝0の解を求める必要がありますが、そのまま解の公式を使って解いてもいいのですが(ルートの中がマイナスになるので実数解はないことがわかるから)、解説の方は、平方完成をして＝0にはならないことを示しています。

私が上記で「正負の関係がある」と言ったのは、
2(t-1/2)²+9/2＜0　となることはない、ことを言いたかったのです。

しかし、追加質問で気づいたのですが、「負だったらなぜいけないんでさょうか？」に対しては、おそらく、
2t²-2t+5は、正でも負でも、＝0にならないんだったら、t=-1しか答えにならないんじゃね？　っていうことを聞きたいんじゃないかなと、推測しました。
これについては、その通りです。＝0となる値がないのであれば、正でも負でもどちらでもいいです。ただ、2t²-2t+5は正にしかならないので、「正と負で関係ありますよ」ということを書きました。

いかがでしょうか。

ひまわり

なるほど！！ご丁寧にありがとうございます！！