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f(x)= x⁴ -8x³ +18kx²より、
f'(x)= 4x³ -24x² + 36kx = 4x(x²-6x+9k)となります。
まず、f'(x)=0の解の個数で場合分けをします。
x²-6x+9kの判別式をDとすると、D/4=9(1-k)
となるので、f'(x)=0の解の個数は、
k>1のとき1個、k=1のとき2個、k<1のとき3個となります。
k>1のときと、k=1のときは増減表を書くと極小値しか持たないことが明らかです。よってk≧1は条件を満たします。
次に、k<1のときを考えます。x²-6x+9k=0の解はx=3±3√(1-k)です。k≠0なら、f'(x)=0は異なる3つの実数解を持ちます。このとき、増減表を書くと、必ず極大値が現れます。よって不適。k=0のとき、f'(x)=0の解はx=0,6となり増減表を書くと、極小値しか持ちません。
以上より、求めるkの範囲はk≧1, k=0
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