急ですがまず以下の話をします。
1° a,b,c,dの並べ方は4!=24(通り)ですね。
2° では、a,a,a,a(区別のないa4個)の並べ方は何通りでしょうか。どんな並べ方をしようとしても、aaaaとなり1通りですね。
3° つぎに、a,a,a,bの並べ方は？
→bの並ぶ場所が4通りあって、他は全て区別のないaが並ぶので答えは4通りですね。
4° じゃあ、a,b,b,cの並べ方は？
→まずa,cの並び方は、四つの場所に対してaが4通り、cが残りの三つの場所に対して3通りあって、残りの二箇所には区別のないcが入るので、4×3×1=12
5° ここで、a,a,b,b,cの並べ方を考えて見ましょう(本題が始まりました)。
5!/2!•2!=30(通り)です。どういう計算かというと、
「同一の種類で、本来区別のない個々を一度全て区別し、区別したことによって本来より多く数えた分だけ減らす」という操作を行っています。
今回、5個の文字があるのでまずそれらを区別することを考えます。5!通りの並べ方があります。でも、実際はa2個、b2個それぞれは「区別がない」はずなので、5!は実際より多く数えていることになります。a2個は区別すると2!通り数えることができますが、区別しないならaはどのように並べようとしてもaaの1通り。bも同様に区別ありだと2!通り、なしだと1通りですね。
これ、実際の並べ方の2!•2!倍になっていることがわかりますか？
(例えば、a2個、b2個を一度全て区別して、a1,a2,b1,b2と表すとすると、実際の並べ方でabacbと並べらたい時、区別ありだとa1 b1 a2 c b2, a2 b1 a1 c b2, a1 b2 a2 c b1, a2 b2 a1 c b1と4倍(2!•2!倍)多く数えています。これが実際の並べ方の1通りずつのそれぞれに起こるのです。)
だから一度区別したもの(今は5!通り)にたいして、「区別によって」多く数えることになった分(2!•2!)、減らすのです。
この考え方は2°, 3°, 4°でも適用可能です。
2°→4!/4!=1(通り)
3°→4!/3!=4(通り)
4°→4!/2!=12(通り)
さて質問者様の問題を見ると、まず9文字全て区別すれば9!通りで、これではaについて4!通り分だけ多く数えており、bについては2!通り、cに関しては3!通りの分だけ多く数えていることになります。
答えはこの多く数えた分だけ減じて、
9!/4!•2!•3!(通り)が答えです。
長々とした説明になってしまって煩雑かもしれませんが、経験則的にも理解しようと思うとこういった段階的な解説が必要かと考えました。
わからないことがあればご質問ください。