どれも名詞を後ろから修飾するフレーズですね。
挙げてくれた例文を分類してみました。
①
a boy looking at the moon
a man killed in the war
②a)
a man to keep his promise
a book to be read
something to be eaten
②b)
a book to read
③
a promise to arrive in time
名詞を後ろから修飾する①分詞や②to不定詞は
関係詞のフレーズを簡略化したもの
と考えればいいんです。
①分詞の場合
a boy who is looking at the moon
→a boy looking at the moon
a man who was killed in the war
→ a man killed in the war
だから、
能動だろうが受動だろうが
a boy が looking at the moon
a man が killed in the war
というふうに主語と動詞（述語）の関係になります
ちなみに
a boy (who is) looking at the moonは
進行形の文を省略していますけど
例えば
the land which belongs to the king
→ the land belonging to the king
のように、
進行形を取らない動詞をこのように書き換えることもできる場合があります。
動詞によってアリ/ナシが別れるので、使うときに気をつけなくてはならない部分です。
②to不定詞の場合
a)
a man who keeps his promise
→a man to keep his promise
これは分詞のときと同じで
a man が keep his promiseする
という関係がありますね。
a book which should be read
→a book to be read
something that will be eaten
→something to be eaten
これはいずれも
文法的に明らかにおかしい点はありませんよ。
ちなみにshouldだったりwillだったりは、あくまで一例です。別の助動詞が合う場合もあると思います。
そして
a book が be read
something が be eaten
となっている点も
最初のto keep his promiseと同じことです。
b)
a book which you should read
→a book to read
a book to read というフレーズを見て
readは他動詞なのに目的語が欠けている
という見抜き方ができるといいと思います。
で、実際何を読むのかというと
おそらくはa bookですよね。
つまりここでは
a book を read というふうに
名詞と to不定詞が
目的語と動詞 の関係になっているのです。
それが、①の分詞や、②a)とは違う点です。
だから
目的格の関係代名詞を使った文を
to不定詞で書き換えている ということです。
ちなみに分詞を使うと
②b)と同じ書き換えはできないことに要注意です。
a book which I'm reading
→ × a book reading
①と同じような操作をしても正しい文になりません。
目的格の関係代名詞の文を、分詞を使って書き換えることはできない。
③同格節の書き換え
このto不定詞は、関係節の書き換えではなくて
おっしゃる通り同格の節をto不定詞に直したものです
a promise that I will arrive in time.
→a promise to arrive in time
この上の文のthatは同格を表す接続詞のthatです。
英米人の頭の中がこうなってるかはわからないですけど
文法の一般的な説明をなるべく丁寧めにするとこんな感じだと思います
