Question

おもち

解説お願いします🥺

次の
必要条件であるが十分条件ではない, 十分条件であるが必要
の中に,
条件ではない、必要十分条件である, 必要条件でも十分条件でもない、のうち最
も適切なものを入れよ。 ただし, 文字はすべて実数とする。
(1)|x-3|+|x+1|≧6 は,|x| ≦ 2 であるための[

Answer 1

Yoshimarukun

|x-3|+|x+1|≦6・・・①
まず、俯瞰的な視点の話ですが
『差とは距離である』
ということも念頭においてみてください。
|x-3|はxと点3の距離
|x+1|=|x-(-1)|はxと-1の距離
すなわち、①の解は
「xと3及び-1とのそれぞれの距離の和が6以下であるようなxの範囲」
です。
3と-1との距離は4です。この間にｘがあるうちは当然不等式は満たします。
(ⅰ)x<-1のとき
xと-1の距離をh(>0)とすると、xと3の距離はh+4
よって距離の和は2h+4なので
2h+4≦6 ∴0<h≦1
したがってxは最小で-1より1小さい値まで取れる
∴-2≦x
(ⅱ)x>3のとき
xと3の距離をh'(>0)とすると、xと-1の距離はh'+4
よって距離の和は2h'+4なので
2h'+4≦6 ∴0<h'≦1
したがってxは最大で3より1大きい値まで取れる
∴x≦4
以上より、-2≦x≦4・・・②
|x|≦2⇔-2≦x≦2・・・③
よって②の集合をP、③の集合をQとすると
P⇒Qは偽、Q⇒Pは真であるから、PはQであるための必要条件であるが十分条件ではない。

(ⅰ)、(ⅱ)のようにくどく書かなくても、数直線の簡単な図を添えて、-2≦x≦4が解としてもいいかもしれません。

もちろん、Pを求めるのに、オーソドックスにxの値で場合分けしてもいいです。