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最後の問題は、辺の比を面積比や体積比に拡張するという考え方を使います。
正四面体ＡＢＣＤは点Ａを原点と見て、線分ＡＢ・線分ＡＣ・線分ＡＤという３直線で張られる立体です。
一方、四面体ＡＰＱＲは点Ａを原点と見て、線分ＡＰ・線分ＡＱ・線分ＡＲという３直線で張られる立体です。
各々の３直線について、
ＡＢ：ＡＰ＝２：１
ＡＣ：ＡＱ＝２：１
ＡＤ：ＡＲ＝３：１
という比が成り立っていますから、これを元に体積比を考えると、
正四面体ＡＢＣＤ：四面体ＡＰＱＲ
＝２×２×３：１×１×１
＝１２：１
となります。
相似な図形において、相似比は辺の比に等しく、面積比は相似比の二乗の比に等しく、体積比は相似比の三乗の比に等しい。
この考え方を拡張している解法です。
今のは(１)です💧
点Ａから底面の△ＢＣＤに下ろした垂線の足をＧとおくと、正四面体の性質から、Ｇは線分ＭＤ上にあり、更にこれを１：２に内分します。
この内分はここでは使わないため、補足はしませんが、△ＡＭＧが直角三角形になるので、(１)で求めたsinθの値を用いて、線分ＡＧの長さはＡＭ･sinθで求められます。
あとは、底面の△ＢＣＤの面積を求め、ＡＧを正四面体の高さと見て、底面積×高さ÷３の公式に入れてやれば、正四面体の体積が求まります。
正四面体の各面はすべて正三角形ですから、△ＡＢＭ・△ＡＣＭ・△ＤＢＭ・△ＤＣＭはすべて内角が30°・60°・90°の直角三角形になります。
この直角三角形の各辺の比は１：２：√３なので、ＡＭ＝ＤＭ＝√３と分かります。
すると、△ＡＭＤは二等辺三角形であり、二等辺三角形の等しい二辺で作られる頂点から底辺に下ろした垂線は底辺を二等分するという法則を使い、点Ｍから辺ＡＤに下ろした垂線の足をＨとすると、ＡＨ＝ＤＨ＝１です。
ここで、角度θの半分を角度αとおけば、∠ＡＭＨ＝∠ＤＭＨ＝αであり、三平方の定理からＭＨ＝√２と求められますから、sinα＝１/√３、cosα＝√２/√３となります。
最後に倍角の公式sinθ＝２sinα･cosαを用いて、sinθ＝２√２/３となります。
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ありがとうございました😭💕