eitherという単語がそもそも「どちらか片方」みたいな意味を持つので、1番はバツです。
either norはどちらも〇〇でない
either or はどちらか〇〇
という意味です。
今回の場合、「私の兄か私のどちらかが犬を世話する必要がある」という意味なので、3番なのでは？？
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