数学
高校生
こんな問題がありました。
この問題の解答は読んで理解できたのですが、問題とは関係のない疑問が生まれてしまいました……
それを解決していただきたくて質問します
まず私が考えたことは27000の約数の組(a,b)であって、aとbが互いに素であるような正の整数a,bはこの解答を利用すると7³で求められるということです
なぜならa/bが1つ決まればa/b＝2^a 3^b 5^cと表した時に、指数が負であるものをb、指数が正であるものをaにもってくれば(a,b)の組がひとつ決まるからです。
そこで私はこの(a,b)の組を他のやり方で求めたいなと思いました。
私が立てた式は以下の通りです
まず、素因数2はaかbどちらかにしか含まれない(互いに素という条件から)ので、素因数2がそのどちらに含まれるかでまず2通り
その指数が1～3のいずれかで3通り(今の段階ではaとbはどちらも1でないとします)
これを3、5の場合も同様に繰り返して
(2×3)³通り
次にaとbの一方が1の時を考えます
aが1のときbは27000の約数ならなんでもいいので4³通り
bが1のときも4³通り
この二つには(a,b)＝(1,1)が重複しているので
aとbの一方が1のときは4³×2－1通り
よって合計して6³＋4³×2－1＝343通りとなり確かに7³と一致します
しかしこの場合の数が343＝7³に一致するのは他に(a/bを考える以外で何か)やり方があるんだと思えてなりません
場合の数が得意な方他の考え方を提供していただけないでしょうか……？
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