1は動名詞です。To sing songsというのはToで〜することという意味になりますよね。それをToを使わず動詞にingをつけても〜することになりますね。なのでSinging songs is a lot of fun.＝To sing songs is fun.です。
3はHow many high schoolsでいくつの学校という意味で、does your city have?であなたの市は持っていますか？ですよね。それがくっついてHow many high schools does your city have?でいくつの学校をあなたの市はもっていますか？→あなたの市はいくつ学校がありますか？How many high schoolsにare there in your city?であなたの市にありますか？にいくつの学校ががくっついてHow many high schools are there in your city?でいくつの学校があなたの市にありますか？ですね。are thereになるのはhigh schoolsと複数なのでareです。
4はWe have much snow in winter.は私たちはたくさんの雪を冬に持っています。muchになるのはsnowが不可算名詞で数えられないからです。There is much snow in winter.になるのはThere is much snow in winter.でたくさんの雪があります冬に。なるからです。There isなのはmuchをさっき言ったとおり数えられないのでareにはなりません。
5はHe and I played tennis last Saturday.彼と私はテニスをしました木曜日に。We have a good time.私たちは楽しみました。となりHe and I enjoyed playing tennis last Saturday.で彼と私は楽しみましたテニスをすることを木曜日に。となるのは動名詞でenjoyedにingで〜することになるplayingを入れて彼と私は木曜日にテニスをすることを楽しみました。となります。
Shall we go to the movies?で私たちは英語を見に行こうか？になります。
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そしてHow about going to the movies?で映画に行きませんか？になるのはHo about 〜ingで〜しませんか？になるのでHow about going to the movies.で映画を見に行きませんか？となります。
分かりにくかったらすいません汗