Question

ゲスト

⑴を教えてください

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

曲面積の求め方はいくつかありそうな気もしますが、公式(42.3)とはどのような公式を指しているのでしょうか

ゲスト

これです

gößt

曲面z=f(x,y)の領域D上における曲面積、ということですかね

(1) x+y+z=a より、
z=-x-y+a
よって
∂z/∂x=-1, ∂z/∂y=-1
積分領域Dを求める。x≧0, y≧0, z≧0 より
D={(x,y) | x≧0, y≧0, -x-y+a≧0}
={(x,y) | x≧0, y≧0, x+y≦a}
={(x,y) | 0≦x≦a, 0≦y≦a-x}

よって、曲面積Sは
S=∫∫_D √(1+1+1) dxdy
=∫[0,a](∫[0,a-x]√3dy)dx
=∫[0,a]√3(a-x)dx
=(√3/2)a²

或いは、
S=√3∫∫_D dxdy
=√3×(Dの面積)
=√3×(a²/2)
=(√3/2)a²
とすることもできます。求められている解き方とは違うかもしれませんが。

ゲスト

すごいわかりやすいです！！
ありがとうございます！

ゲスト

ちなみにこちらはわかりますか？
⑷です！

gößt

連鎖律(chain rule)とか言われるやつですね。合成関数の微分の二変数バージョンみたいなものですが、ややこしい割によく出てくるので厄介なやつです。私もよく混乱します

∂z/∂r
=(∂z/∂x)(∂x/∂r)+(∂z/∂y)(∂y/∂r)
=(2f(x,y)•∂f/∂x)•cosθ+(2f(x,y)•∂f/∂y)•sinθ
=2f(rcosθ,rsinθ){(∂f/∂x)cosθ+(∂f/∂y)sinθ}
となります

ゲスト

=2つ目から3つ目に行く際にf()の中身代入していいんですか？

gößt

x=rcosθ,y=rsinθ を代入しているところですか？∂f/∂xのxなんかに代入するとなんだかよく分からなくなりますが、f(x,y)のxやyに代入する分には大丈夫です

ゲスト

ありがとうございました！🙇🏻‍♂️