至急。問3がわかりません。解説の1行目からわかりません。どうしてそうなるのでしょうか？やっていることはわかるので、理屈を教えてほしいです。

至急。問3がわかりません。解説の1行目からわかりません。どうしてそうなるので

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8年以上前

念のために、確認ですが、20!=20×19×18...×2×1ですね。で、問題が言ってることは、すなわち、20！÷2^mが整数になり、かつ答えがもっとも小さくなればいいのです。(mが大きくなればなるほど、答えは小さくなる)
これをさらに言い換えると、答えが整数になるとは、2で何回割りきれるかということを意味します。ですのでここでは、このわり算の答えをNとします。

ここで、2で割り切れるとはどういうことか、確認します。
12であれば、
【1回目】12を2で割ると6になるので割り切れる
【2回目】6を2で割ると3になるので割り切れる
【3回目】3を2で割ると1あまり1になるので割りきれない
したがって2回ということになり、Nは3です。

このけいさんを数式にすると
12÷2÷2=3(÷2の個数が割り切れる回数券)
これを変形すると3×2×2=12
ここで、気づいたかもしれませんが、この結果は12を素因数分解した結果と同じになるわけです。
すなわち、12には素因数2が何回出てくるかということが問題になってきます。
ここまで、理解することできましたか？

ゲスト 8年以上前

できました！

ブドウくん 8年以上前

次に20！に含まれる素因数2の個数を考えます。
20×19×18×17×16×15...2×1
を素因数分解することを考えます。
しかし、素因数分解を完璧にする必要はなく、あくまで2だけがひつようなので、2×奇数の形にさえすればいいです。(54なら2×27で充分で27を3×3×3にしなくてもよいということ)

まず、2で割れる数がありますね
20×19×18...×2×1
=20×18×16×14×...4×2×19×17×15×13...×3×1
です。後半部分は奇数なので、2×の形に直せない(めんどくさいのでこの集団をKとします)ので、前半部分を2×の形にすると
20！=(2×10)×(2×9)× ...×(2×1)×K
=2^10×(10×9×8×7×...×3×2×1)×K ...<1回目>
よって、10個の素因数は含まれていました。しかし、分けたあとの10×9×...×2×1にも2は潜んでいます。
8,6,4,2です。
よって、
20！=2^10×{10×9×8...×1}×K
=20！=2^10×{2^5×(5×4×3×2×1)}×K
=2^15×(5×4×3×2×1)×K ...<2回目>
さらに4,2は2で割れます。
20！=2^15×{2^2(5×2×3×1×1)}×K
=2^17×5×2×3×1×1×K ...<3回目>
さらに2は2で割れます
2^18×5×1×3×1×1 ...<4回目>
よって18です。